Skalės trikampio savybės, formulė ir sritys, skaičiavimas



A skaleno trikampis Tai trišalis daugiakampis, kur kiekvienas turi skirtingus matavimus ar ilgius; dėl šios priežasties jam suteikiamas pavadinimas scalene, kuris lotynų kalba reiškia laipiojimą.

Trikampiai yra daugiakampiai, laikomi paprasčiausia geometrijoje, nes jie yra suformuoti trimis šonais, trimis kampais ir trimis viršūnėmis. Skaleninio trikampio atveju, nes jis turi visas skirtingas puses, tai reiškia, kad jo trys kampai taip pat bus skirtingi..

Indeksas

  • 1 Skaleno trikampių charakteristikos
    • 1.1 Komponentai
  • 2 Ypatybės
    • 2.1 Vidiniai kampai
    • 2.2 Šonų suma
    • 2.3 Nenuoseklios pusės
    • 2.4 Nesuderinami kampai
    • 2.5 Aukštis, mediana, bisektorius ir bisektorius nesutampa
    • 2.6 „Orthocenter“, „barycenter“, „incenter“ ir „circumcenter“ nesutampa
    • 2.7 Santykiniai aukščiai
  • 3 Kaip apskaičiuoti perimetrą?
  • 4 Kaip apskaičiuoti plotą?
  • 5 Kaip apskaičiuoti aukštį?
  • 6 Kaip apskaičiuoti šonus?
  • 7 Pratimai
    • 7.1 Pirmasis pratimas
    • 7.2 Antrasis pratimas
    • 7.3 Trečiasis pratimas
  • 8 Nuorodos

Scaleno trikampių charakteristikos

Skalės trikampiai yra paprasti daugiakampiai, nes nė viena jų pusė ar kampas neturi to paties dydžio, skirtingai nei lygiašaliai ir lygiakraščiai trikampiai.

Kadangi visi jo kraštai ir kampai yra skirtingi, šie trikampiai laikomi nereguliariais išgaubtais daugiakampiais.

Pagal vidinių kampų amplitudę, skaleniniai trikampiai klasifikuojami kaip:

  • Mastelio stačiakampio trikampis: visos jos pusės yra skirtingos. Vienas iš jo kampų yra tiesus (90 mm)o) ir kiti yra ryškūs ir skirtingi.
  • Taškinis trikampis kampas: visos jos šoninės yra skirtingos ir vienas iš jo kampų yra neryškus (> 90 mm)o).
  • Taškinio kampo trikampis: visos jos pusės yra skirtingos. Visi jo kampai yra aštrūs (< 90o), su skirtingomis priemonėmis.

Kita skaleno trikampių charakteristika yra ta, kad dėl jų šonų ir kampų nesuderinamumo jie neturi simetrijos ašies.

Komponentai

Mediana: yra linija, kuri išeina iš vienos pusės vidurio ir pasiekia priešingą viršūnę. Trys mediana sutampa taške, vadinamame centroidu ar centroidu.

Bisektorius: yra spindulys, kuris padalija kiekvieną kampą į du vienodo dydžio kampus. Trikampio bisektoriai sutampa, vadinamą stimro.

Mediatrix: yra segmentas, statmenas trikampio šonai, kuris yra šio centro viduryje. Trikampyje yra trys žiniasklaidos priemonės ir sutampa su tašku, vadinamu circumcenter.

Aukštis: yra linija, kuri eina iš viršūnės į priešingą pusę ir taip pat ši linija yra statmena šiai pusei. Visi trikampiai turi tris aukščius, kurie sutampa su tašku, vadinamu ortocentru.

Savybės

Skalės trikampiai yra apibrėžti arba identifikuoti, nes jie turi keletą savybių, kurios jiems atstovauja, kilę iš didžiųjų matematikų siūlomų teorijų. Jie yra:

Vidiniai kampai

Vidinių kampų suma visada lygi 180o.

Šonų suma

Dviejų pusių matavimų suma visada turi būti didesnė už trečiosios pusės matą, a + b> c.

Nenuoseklios pusės

Visos skalenų trikampių pusės turi skirtingus matmenis ar ilgius; tai yra, jie yra nesuderinami.

Nenuoseklūs kampai

Kadangi visos skaleno trikampio pusės yra skirtingos, jų kampai taip pat bus skirtingi. Tačiau vidinių kampų suma visada bus lygi 180º, o kai kuriais atvejais vienas iš jo kampų gali būti neryškus arba tiesus, o kitose jo kampuose bus ūminis.

Aukštis, mediana, bisektorius ir bisektorius nesutampa

Kaip ir bet kuris trikampis, skalenas turi kelis tiesių linijų segmentus, tokius kaip: aukštis, mediana, bisektorius ir bisektorius.

Atsižvelgiant į jo pusių specifiškumą, tokio tipo trikampyje nė viena iš šių linijų nesutampa.

Orthocenter, barycenter, incenter ir circumcenter nėra sutapti

Kadangi aukštį, medianą, bisektorių ir bisektorių atstovauja skirtingi tiesių linijų segmentai, skalenų trikampyje susitikimų taškai - ortocentras, centrinis centras, incenter ir circumcenter - bus rasti skirtinguose taškuose (jie nesutampa).

Priklausomai nuo to, ar trikampis yra ūmus, stačiakampis, ar skalenas, ortocentras turi skirtingas vietas:

a. Jei trikampis yra ūmus, ortocentras bus trikampio viduje.

b. Jei trikampis yra stačiakampis, ortocentras sutaps su tiesiosios pusės viršūnėmis.

c. Jei trikampis yra prastas, ortocentras bus trikampio išorėje.

Santykiniai aukščiai

Aukštis yra lygus šonams.

Skaleninio trikampio atveju šie aukščiai bus skirtingi. Kiekvienas trikampis turi tris santykinius aukščius ir juos apskaičiuojant naudojama Herono formulė.

Kaip apskaičiuoti perimetrą?

Daugiakampio perimetras apskaičiuojamas pagal šonų sumą.

Kadangi šiuo atveju skaleno trikampis turi visas šonines puses su skirtingu matu, jo perimetras bus:

P = pusė a + pusė b + pusė c.

Kaip apskaičiuoti plotą?

Trikampių plotas visada apskaičiuojamas pagal tą pačią formulę, bazę padauginant iš aukščio ir dalijant iš dviejų:

Plotas = (bazė * h) ÷ 2

Kai kuriais atvejais skaleninio trikampio aukštis nežinomas, tačiau matematiko Herono pasiūlyta formulė, kad būtų galima apskaičiuoti plotą, žinantį trijų trikampio pusių matavimą.

Kur:

  • a, b ir c žymi trikampio puses.
  • sp, atitinka trikampio semiperimetrą, ty pusę perimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Jei matuojate tik du trikampio šonus ir tarp jų sukurtą kampą, plotą galima apskaičiuoti taikant trigonometrinius santykius. Taigi jūs turite:

Plotas = (pusė * h) ÷ 2

Kai aukštis (h) yra vienos pusės rezultatas priešinga kampo sinuso. Pavyzdžiui, kiekvienoje pusėje plotas bus:

  • Plotas = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Plotas = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Plotas = (a * b * sen C) ÷ 2

Kaip apskaičiuoti aukštį?

Kadangi visos skaleno trikampio pusės yra skirtingos, neįmanoma apskaičiuoti aukščio su Pitagoro teorema.

Iš Herono formulės, paremtos trijų trikampio pusių matavimais, plotą galima apskaičiuoti.

Aukštis gali būti pašalintas iš bendros srities formulės:

Šoninė dalis pakeičiama a, b arba c šono matavimu.

Kitas būdas apskaičiuoti aukštį, kai yra žinoma vieno iš kampų vertė, yra trigonometrinių santykių taikymas, kai aukštis atspindi trikampio koją.

Pavyzdžiui, kai žinomas priešingas kampas aukštyje, jis bus nustatomas pagal sinusą:

Kaip apskaičiuoti šonus?

Kai turite dviejų pusių matmenį ir kampą priešingą šiems, galima nustatyti trečiąją pusę taikant kosinų teoriją.

Pavyzdžiui, trikampyje AB brėžiamas aukštis, lygus AC segmentui. Tokiu būdu trikampis yra padalintas į du dešinius trikampius.

Norint apskaičiuoti c pusę (AB segmentas), kiekvienam trikampiui taikomas Pitagoro teorema:

  • Dėl mėlynojo trikampio turite:

c2 = h2 + m2

Kaip m = b - n, jis pakeičiamas:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Dėl rožinio trikampio turite:

h2 = a2 - n2

Ji pakeičiama ankstesnėje lygtyje:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2 mlrd.

Žinant, kad n = a * cos C, pakeičiama ankstesnėje lygtyje ir gaunama c šono vertė:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Pagal Cosines įstatymą pusės gali būti apskaičiuojamos taip:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Yra atvejų, kai trikampio šonų matavimai nėra žinomi, bet jų aukštis ir kampai, suformuoti viršūnėse. Siekiant nustatyti plotą šiais atvejais būtina taikyti trigonometrinius santykius.

Žinant vienos iš jų viršūnių kampą, identifikuojamos kojos ir naudojamas atitinkamas trigonometrinis santykis:

Pavyzdžiui, AB „Cathetus“ kampas bus priešinga kampui C, bet greta A kampo. Priklausomai nuo šono ar kateto, atitinkančio aukštį, kita pusė yra išvalyta, kad gautų šios vertės vertę..

Pratimai

Pirmasis pratimas

Apskaičiuokite skaleno trikampio ABC plotą ir aukštį, žinodami, kad jos šoninės yra:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Sprendimas

Kaip duomenys pateikiami trijų skaleno trikampio pusių matavimai.

Kadangi neturite aukščio vertės, galite nustatyti plotą, naudodami „Heron“ formulę.

Pirmiausia apskaičiuojamas semiperimetras:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Dabar Herono formulės vertės pakeičiamos:

Žinant plotą galima apskaičiuoti santykinį aukštį b pusėje. Pagal bendrąją formulę turite ją išvalyti:

Plotas = (pusė * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Antrasis pratimas

Atsižvelgiant į skaleno trikampį ABC, kurio priemonės yra:

  • AB segmentas = 25 m.
  • Segmentas BC = 15 m.

B viršūnėje susidaro 50 ° kampas. Apskaičiuokite šio trikampio santykinį aukštį į šoninį c, perimetrą ir plotą.

Sprendimas

Tokiu atveju turite dvi puses. Norint nustatyti aukštį, būtina apskaičiuoti trečiosios pusės matavimą.

Kadangi kampas priešais nurodytąsias puses yra pateiktas, galima nustatyti kosino įstatymą, kad būtų galima nustatyti kintamosios srovės pusės matavimą (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Kur:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Duomenys pakeičiami:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = 7367,985

b = 19,18 m.

Kadangi jau turite trijų pusių vertę, apskaičiuokite šio trikampio perimetrą:

P = pusė a + pusė b + pusė c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Dabar galima nustatyti plotą taikant Heron formulę, tačiau pirmiausia reikia apskaičiuoti pusiau matuoklį:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Šonų ir pusiau matuoklio matavimai pakeičiami „Heron“ formulėje:

Galiausiai, žinant plotą, galima apskaičiuoti santykinį aukštį c pusėje. Iš bendros formulės išvalykite ją:

Plotas = (pusė * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Trečiasis pratimas

Skaleninio trikampio ABC pusėje b yra 40 cm, šone c - 22 cm, o viršūnėje A - 90 kampas.o. Apskaičiuokite šio trikampio plotą.

Sprendimas

Šiuo atveju pateikiami dviejų skaleno trikampio ABC pusių matavimai, taip pat kampas, suformuotas viršūnėje A.

Norint nustatyti plotą, nereikia apskaičiuoti šoninio a matavimo, nes per trigonometrinius santykius kampas naudojamas jo suradimui..

Kadangi yra žinomas priešingas kampas aukštyje, tai nustatys gaminys vienoje pusėje ir kampo sinusas.

Vietos formulės pakeitimas:

  • Plotas = (pusė * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Plotas = (b * c * sen A) ÷ 2

Plotas = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Plotas = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Plotas = 880 cm2 ÷ 2

Plotas = 440 cm2.

Nuorodos

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Techninis brėžinys: užrašų knygelė.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrijos CR technologijos, .
  3. Angel, A. R. (2007). Pradinė algebra „Pearson Education“,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Euklido geometrija. Rio de Žaneiras,.
  6. Coxeter, H. (1971). Geometrijos pagrindai Meksika: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Kolegijos studentų pradinė geometrija. Mokymasis mokytis.
  8. Harpe, P. d. (2000). Geometrinės grupės teorijos temos. Čikagos spaudos universitetas.