Lygiašaliai trikampio bruožai, savybės, formulės ir sritis



A lygiakraštis trikampis tai daugiakampis, turintis tris puses, kur visi yra lygūs; tai yra, jie turi tą pačią priemonę. Dėl šios savybės jam buvo suteiktas lygiakraštis (lygios pusės).

Trikampiai yra daugiakampiai, laikomi paprasčiausia geometrijoje, nes jie yra suformuoti trimis šonais, trimis kampais ir trimis viršūnėmis. Lygiašalio trikampio atveju, lygiomis pusėmis, tai reiškia, kad jos trys kampai taip pat bus.

Indeksas

  • 1 Lygiašalių trikampių charakteristikos
    • 1.1 Vienodos pusės
    • 1.2 Komponentai
  • 2 Ypatybės
    • 2.1 Vidiniai kampai
    • 2.2 Išoriniai kampai
    • 2.3 Šonų suma
    • 2.4
    • 2.5 Sudėtingi kampai
    • 2.6 Bisektorius, mediana ir mediatrix sutampa
    • 2.7 Bisektorius ir aukštis sutampa
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter ir circumcenter sutampa
  • 3 Kaip apskaičiuoti perimetrą?
  • 4 Kaip apskaičiuoti aukštį?
  • 5 Kaip apskaičiuoti šonus?
  • 6 Kaip apskaičiuoti plotą?
  • 7 Pratimai
    • 7.1 Pirmasis pratimas
    • 7.2 Antrasis pratimas
    • 7.3 Trečiasis pratimas
  • 8 Nuorodos

Lygiašalių trikampių charakteristikos

Lygios pusės

Lygiašaliai trikampiai yra plokšti ir uždaryti skaičiai, sudaryti iš trijų tiesių linijų segmentų. Trikampiai klasifikuojami pagal jų charakteristikas, jų pusių ir kampų atžvilgiu; lygiašalis buvo klasifikuojamas naudojant jo pusių matą kaip parametrą, nes jie yra lygiai tokie patys, ty jie yra lygūs.

Lygiagretaus trikampis yra ypatingas lygiašalio trikampio atvejis, nes dvi jo pusės yra lygios. Štai kodėl visi lygiakraščiai trikampiai taip pat yra lygūs, bet ne visi lygiašaliai trikampiai bus lygiašaliai.

Tokiu būdu lygiakraščiai trikampiai turi tas pačias lygiagretės trikampio savybes.

Lygiašaliai trikampiai taip pat gali būti klasifikuojami pagal jų vidinių kampų amplitudę kaip lygiakraštis kampinis trikampis, turintis tris puses ir tris vidinius kampus su ta pačia priemone. Kampai bus aštrūs, ty jie bus mažesni nei 90o.

Komponentai

Trikampiai apskritai turi keletą eilučių ir taškų, kurie ją sudaro. Jie naudojami apskaičiuoti plotą, šonus, kampus, vidurį, bisektorių, statmeną ir aukštį.

  • Mediana: yra linija, kuri išeina iš vienos pusės vidurio ir pasiekia priešingą viršūnę. Trys mediana sutampa taške, vadinamame centroidu ar centroidu.
  • Bisektorius: yra spindulys, kuris padalija viršūnių kampą į du vienodo dydžio kampus, todėl jis vadinamas simetrijos ašimi. Pusiau trikampis turi tris simetrijos ašis.

Lygiašaliame trikampyje bisektorius yra nubrėžtas iš kampo viršūnės į jos priešingą pusę, pjaustant jį į vidurio tašką. Šie aspektai sutampa su skatinimu.

  • Mediatrix: yra segmentas, statmenas trikampio šonai, kuris yra šio centro viduryje. Trikampyje yra trys mediatrijos ir jie sutampa su tašku, vadinamu cirkoncentru.
  • Aukštis: yra linija, kuri eina iš viršūnės į priešingą pusę ir taip pat ši linija yra statmena šiai pusei. Visi trikampiai turi tris aukščius, kurie sutampa su tašku, vadinamu ortocentru.

Savybės

Pagrindinė lygiašalių trikampių savybė yra ta, kad jie visada bus lygiašaliai trikampiai, nes vienarūšiai yra suformuoti iš dviejų lygių pusių ir lygiašalių trijų pusių..

Tokiu būdu lygiakraščiai trikampiai paveldėjo visas lygiagretaus trikampio savybes:

Vidiniai kampai

Vidinių kampų suma visada lygi 180o, ir kadangi visi jo kampai yra lygūs, tada kiekvienas iš jų bus 60o.

Išoriniai kampai

Išorinių kampų suma visada bus lygi 360o, todėl kiekvienas išorinis kampas bus 120o. Taip yra todėl, kad vidiniai ir išoriniai kampai yra papildomi, ty jų pridėjimas visada bus lygus 180o.

Šonų suma

Dviejų pusių matavimų suma visada turi būti didesnė už trečiosios pusės matą, ty a + b> c, kur a, b ir c yra kiekvienos pusės matavimai..

Sudėtingos pusės

Lygiašaliai trikampiai turi trijų pusių tą pačią matą arba ilgį; tai yra, jie yra lygūs. Todėl ankstesniame punkte mes turime a = b = c.

Sudėtingi kampai

Lygiašaliai trikampiai taip pat žinomi kaip lygiakampiai trikampiai, nes jų trys vidiniai kampai yra vienodi. Taip yra todėl, kad visos jos pusės turi tą pačią priemonę.

Bisektorius, mediana ir mediatrix sutampa

Bisektorius padalina trikampio pusę į dvi dalis. Lygiašaliuose trikampiuose ši pusė bus padalyta į dvi lygiai lygias dalis, ty trikampis bus padalintas į du lygius teisingus trikampius.

Taigi, bisektorius, ištrauktas iš bet kurio lygiakraščio trikampio kampo, sutampa su to kampo priešingos pusės mediana ir bisektore..

Pavyzdys:

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta trikampis ABC su viduriniu D tašku, kuris padalija vieną iš jo pusių į du segmentus AD ir BD.

Kai piešiate liniją nuo taško D iki priešingos viršūnės, pagal apibrėžimą gaunate mediana CD, kuris yra lyginant su C ir AB pusėmis.

Kadangi CD segmentas padalina trikampį ABC į du trikampius, lygius CDB ir CDA, tai reiškia, kad mes turėsime kongruencijos atvejį: šoną, kampą, šoną ir todėl CD taip pat bus BCD bisektorius.

Brėžiant CD segmentą, padalinkite viršūnės kampą į du lygius 30 kampų kampuso, viršūnės A kampas toliau matuoja 60 °o ir tiesus CD sudaro 90 ° kampąo vidurio taško D atžvilgiu.

Segmento CD formuoja kampus, turinčius tą patį matavimą trikampiams ADC ir BDC, ty jie yra papildomi taip, kad kiekvieno iš jų matavimas bus toks:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

Ir taip, jūs turite, kad CD segmentas taip pat yra AB pusės bisector.

Bisektorius ir aukštis sutampa

Kai nubrėžiate bisektorių nuo kampo viršūnės į priešingos pusės vidurio tašką, jis padalija lygiakraščio trikampį į du vienodus trikampius.

Tokiu būdu suformuotas 90 kampaso (tiesiai). Tai rodo, kad šis linijos segmentas yra visiškai statmenas šiai pusei, o pagal apibrėžimą ši linija būtų aukštis.

Tokiu būdu bet kurio lygiakraščio trikampio bet kurio kampo bisektorius sutampa su santykiniu aukščiu priešingoje to kampo pusėje.

Orthocenter, barycenter, incenter ir circumcenter sutampa

Kadangi aukštis, mediana, bisektorius ir bisektorius tuo pačiu metu yra atstovaujami tame pačiame segmente, lygiakraščio trikampyje šių segmentų susitikimų taškai - ortocentras, barycenter, incenter ir circumcenter- bus tame pačiame taške:

Kaip apskaičiuoti perimetrą?

Daugiakampio perimetras apskaičiuojamas pagal šonų sumą. Kadangi tokiu atveju lygiakraštis trikampis turi visas šonines dalis su tuo pačiu matu, jo perimetras apskaičiuojamas pagal šią formulę:

P = 3 * pusėje.

Kaip apskaičiuoti aukštį?

Kadangi aukštis yra statmena bazei, ji ją padalija į dvi lygias dalis, išilgai į priešingą viršūnę. Taigi susidaro du lygūs dešinieji trikampiai.

Aukštis (h) yra priešinga pusė (a), pusė šoninės AC prie gretimos pusės (b) ir BC pusė - hipotenažas (c).

Naudojant Pitagoro teoremą, galite nustatyti aukščio vertę:

a2 + b2= c2

Kur:

a2 = aukštis (h).

b2 = pusė b / 2.

c2 = pusė a.

Šios vertės pakeičiamos Pitagoro teoremoje ir išvalome aukštį, kurį turime:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Jei žinoma, kad kampas, kurį sudaro suderintos pusės, gali būti apskaičiuojamas aukštis (nurodomas kojomis) taikant trigonometrinius santykius.

Kojos vadinamos priešingomis arba gretimomis, priklausomai nuo kampo, priimto kaip atskaitos taškas.

Pavyzdžiui, ankstesniame paveiksle katetas h bus priešingas kampui C, bet šalia kampo B:

Taigi aukštį galima apskaičiuoti:

Kaip apskaičiuoti šonus?

Yra atvejų, kai trikampio šonų matavimai nėra žinomi, tačiau jų aukštis ir kampai, suformuoti viršūnėse.

Siekiant nustatyti plotą šiais atvejais būtina taikyti trigonometrinius santykius.

Žinant vienos iš jų viršūnių kampą, identifikuojamos kojos ir naudojamas atitinkamas trigonometrinis santykis:

Taigi AB kojelė bus priešinga kampui C, bet šalia A kampo. Priklausomai nuo šono ar kojos, atitinkančios aukštį, kita pusė yra išvalyta, kad būtų gauta šios vertės, žinant, kad lygiakraščio trikampyje trys šonuose visada bus tokio pat dydžio.

Kaip apskaičiuoti plotą?

Trikampių plotas visada apskaičiuojamas pagal tą pačią formulę, bazę padauginant iš aukščio ir dalijant iš dviejų:

Plotas = (b * h) ÷ 2

Žinant, kad aukštis pateikiamas pagal formulę:

Pratimai

Pirmasis pratimas

Lygiagretaus trikampio ABC šonai yra 20 cm. Apskaičiuokite to poligono aukštį ir plotą.

Sprendimas

Norint nustatyti to lygiakraščio trikampio plotą, reikia apskaičiuoti aukštį, žinant, kad, piešiant, jis padalija trikampį į du lygius dešinius trikampius.

Tokiu būdu galima surasti Pitagoro teoremą:

a2 + b2= c2

Kur:

a = 20/2 = 10 cm.

b = aukštis.

c = 20 cm.

Duomenys teoremoje pakeičiami:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Tai reiškia, kad trikampio aukštis yra lygus 17,32 cm. Dabar galima apskaičiuoti nurodyto trikampio plotą pakeičiant formulę:

Plotas = (b * h) ÷ 2

Plotas = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Plotas = 346,40 cm2 ÷ 2

Plotas = 173,20 cm2.

Kitas paprastesnis būdas, kaip išspręsti šią užduotį, yra pakeisti duomenis į tiesioginę vietovės formulę, kurioje aukštis taip pat yra netiesiogiai:

Antrasis pratimas

Žemėje, kurioje yra lygiakraštis trikampis, gėlės bus sodinamos. Jei to krašto perimetras yra 450 m, apskaičiuokite gėlės užimamų kvadratinių metrų skaičių.

Sprendimas

Žinant, kad trikampio perimetras atitinka jo trijų pusių sumą, o vietovė yra lygiakraščio trikampio formos, trys šios trikampio pusės turės tą patį matą arba ilgį:

P = pusė + pusė + pusė = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Dabar reikia tik apskaičiuoti šio trikampio aukštį.

Aukštis padalina trikampį į du lygius dešininius trikampius, kur viena iš kojų yra aukštis ir kita pusė. Pagal Pitagoro teoremą galima nustatyti aukštį:

a2 + b2= c2

Kur:

a = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = aukštis

Duomenys teoremoje pakeičiami:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22,500 m - 5,625 m

b2 = 16,875 m

b = ,816,875 m

b = 129,90 m.

Taigi sritis, kurioje bus gėlės, bus:

Plotas = b * h ÷ 2

Plotas = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Plotas = (19,485 m)2) ÷ 2

Plotas = 9,742,5 m2

Trečiasis pratimas

Lygiagretaus trikampis ABC padalijamas iš linijos segmento, einančio nuo jo viršūnės C iki vidurinės D taško, esančio priešingoje pusėje (AB). Šis segmentas yra 62 metrų. Apskaičiuokite to lygiakraščio trikampio plotą ir perimetrą.

Sprendimas

Žinant, kad lygiakraštis trikampis yra padalintas iš linijos segmento, atitinkančio aukštį, taip sudarant du lygius dešinius trikampius, tai taip pat padalija viršūnės C kampą su dviem kampais su ta pačia priemone, 30o kiekvienas iš jų.

Aukštis sudaro 90 kampųo segmento AB atžvilgiu, o taško A kampas bus matuojamas 60o.

Tada kaip atskaitą naudokite 30 kampąo, aukštis CD yra sukurtas kaip kojos, esančios greta kampo, ir BC kaip hipotenzija.

Iš šių duomenų galima nustatyti vienos iš trikampio pusių vertę, naudojant trigonometrinius santykius:

Kaip ir lygiakraščio trikampyje, visos pusės turi tą patį matą arba ilgį, o tai reiškia, kad kiekviena lygiakraščio trikampio ABC pusė yra lygi 71,6 metrų. Žinodami, kad galite nustatyti savo vietovę:

Plotas = b * h ÷ 2

Plotas = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Plotas = 4,338,6 m2 ÷ 2

Plotas = 2,219,3 m2

Perimetrą sudaro trijų pusių suma:

P = pusė + pusė + pusė = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Nuorodos

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Techninis brėžinys: užrašų knygelė.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Euklido geometrija. SBM. Rio de Žaneiras, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometrija A Transformacijos metodas. JAV: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Euklido geometrijos elementai.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometrija ir trigonometrija.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integruota geometrija Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra ir trigonometrija „Pearson Education“.