Binominis teorijos demonstravimas ir pavyzdžiai



The binominė teorema yra lygtis, nurodanti, kaip sukurti formos (a + b) išraiškąn kai kurių natūralių skaičių n. Binominis yra ne daugiau kaip dviejų elementų, pvz., (A + b), suma. Tai taip pat leidžia mums žinoti terminą, kurį suteikia akbn-k koks yra su tuo susijęs koeficientas.

Ši teorija paprastai priskiriama anglų išradėjui, fizikui ir matematikui Sirui Isaakui Newtonui; tačiau buvo nustatyta keletas įrašų, rodančių, kad Artimuosiuose Rytuose jo buvimas jau buvo žinomas, maždaug 1000 metų.

Indeksas

  • 1 kombinatoriniai numeriai
  • 2 Demonstravimas
  • 3 Pavyzdžiai
    • 3.1 Tapatybė 1
    • 3.2 Tapatybė 2
  • 4 Kitas demonstravimas
    • 4.1 Demonstravimas indukcijos būdu
  • 5 Smalsumas
  • 6 Nuorodos

Kombinatoriniai numeriai

Binominė teorija matematiškai pasakoja:

Šioje frazėje a ir b yra tikri skaičiai ir n yra natūralus skaičius.

Prieš parodydami demonstraciją, pamatysime kai kurias būtinas sąvokas.

Kombinatorinis skaičius arba n junginiai k yra išreiškiami taip:

Ši forma išreiškia vertę, kiek subkategorijų su k elementais galima pasirinkti iš n elementų rinkinio. Jo algebrinę išraišką pateikia:

Pažiūrėkime pavyzdį: Tarkime, kad turime septynių rutulių grupę, iš kurių du yra raudoni ir kiti - mėlyni.

Mes norime žinoti, kiek būdų juos užsisakyti iš eilės. Vienas iš būdų galėtų būti du raudonos spalvos į pirmąją ir antrąją pozicijas, o likę rutuliai likę kitose pozicijose.

Panašiai kaip ir ankstesnėje byloje, galėtume suteikti raudonuosius rutulius atitinkamai pirmąją ir paskutinę vietą ir užimti kitus su mėlynos spalvos rutuliais.

Dabar efektyvus būdas suskaičiuoti, kiek būdų galime užsisakyti kamuoliukus iš eilės, yra kombinatoriniai numeriai. Kiekvieną poziciją matome kaip šių rinkinių elementą:

Toliau reikia pasirinkti tik dviejų elementų pogrupį, kuriame kiekvienas iš šių elementų atspindi raudonųjų rutulių užimamą poziciją. Šį pasirinkimą galime padaryti pagal santykius, kuriuos pateikė:

Tokiu būdu mes turime 21 būdą, kaip surūšiuoti tokius kamuolius.

Bendroji šio pavyzdžio idėja bus labai naudinga demonstruojant binominę teoremą. Pažvelkime į konkretų atvejį: jei n = 4, turime (a + b)4, kuris yra ne daugiau kaip:

Kurdami šį produktą, mes turime terminų sumą, gautą padauginus kiekvieno iš keturių veiksnių elementą (a + b). Taigi, mes turėsime terminus, kurie bus tokios formos:

Jei norėjome gauti formos terminą4, tiesiog padauginkite taip:

Atkreipkite dėmesį, kad yra tik vienas būdas gauti šį elementą; bet kas atsitiks, jei dabar ieškosime formos formos2b2? Kadangi „a“ ir „b“ yra tikri skaičiai, todėl komutacinė teisė galioja, mes galime gauti šį terminą daugintis su nariais, kaip nurodyta rodyklėse.

Visų šių operacijų atlikimas paprastai yra šiek tiek varginantis, bet jei matome terminą „a“ kaip derinį, kuriame norime žinoti, kiek būdų galime pasirinkti du „a“ iš keturių veiksnių rinkinio, galime naudoti ankstesnio pavyzdžio idėją. Taigi, mes turime:

Taigi, žinome, kad baigiant raišką (a + b)4 turėsime tiksliai 6a2b2. Naudodami tą pačią idėją kitiems elementams, turite:

Tada pridedame anksčiau gautas išraiškas ir turime:

Tai yra oficialus pavyzdys, kai „n“ yra bet koks natūralus skaičius.

Demonstravimas

Atkreipkite dėmesį, kad sąlygos, kurios lieka kuriant (a + b)n yra formoskbn-k, kur k = 0,1, ..., n. Naudojant ankstesnio pavyzdžio idėją, mes galime pasirinkti „k“ kintamuosius „a“ iš „n“ veiksnių:

Pasirinkdami tokiu būdu, mes automatiškai pasirenkame n-k kintamuosius „b“. Iš to matyti, kad:

Pavyzdžiai

Atsižvelgiant į (a + b)5, Koks būtų jo vystymasis?

Pagal binominę teoriją turime:

Binominė teorema yra labai naudinga, jei turime išraišką, kurioje norime žinoti, koks yra konkretaus termino koeficientas, neturint atlikti visiško vystymosi. Pavyzdžiui, galime užduoti tokį klausimą: koks yra koeficientas x7ir9 kuriant (x + y)16?

Pagal binominę teoriją mes turime, kad koeficientas yra:

Kitas pavyzdys būtų toks: koks yra koeficientas x5ir8 kuriant (3x-7y)13?

Pirmiausia perrašome išraišką patogiu būdu; tai yra:

Tada, naudojant binominę teoremą, mes turime, kad norimas koeficientas yra tada, kai turime k = 5

Kitas šio teoremo panaudojimo pavyzdys yra tam tikrų bendrų tapatybių, pvz., Paminėtų toliau, demonstravimas.

Tapatybė 1

Jei „n“ yra natūralus numeris, turime:

Demonstravimui mes naudojame binominę teoremą, kur tiek „a“, tiek „b“ užima 1 vertę. Tada mes turime:

Tokiu būdu mes įrodėme pirmąją tapatybę.

Tapatybė 2

Jei „n“ yra natūralus skaičius, tada

Pagal binominę teoriją turime:

Kitas demonstravimas

Mes galime atlikti kitą binominės teoremos demonstravimą, naudojant indukcinį metodą ir pasalinę tapatybę, kuri mums sako, kad jei „n“ ir „k“ yra teigiami sveikieji skaičiai, atitinkantys n ≥ k, tada:

Demonstravimas indukcijos būdu

Pirmiausia pažiūrėkime, kad indukcinė bazė yra įvykdyta. Jei n = 1, turime:

Iš tiesų matome, kad tai įvykdyta. Dabar leiskite n = j, kad jis būtų įvykdytas:

Norime matyti, kad n = j + 1 įvykdoma, kad:

Taigi, turime:

Pagal hipotezę žinome, kad:

Tada naudodami platinimo turtą:

Vėliau, rengdami kiekvieną iš jų, mes turime:

Dabar, jei mes grupuosime patogiai, turime:

Naudodami pascal tapatybę, turime:

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad:

Todėl matome, kad binominė teorija yra įvykdyta visoms „n“, priklausančioms natūraliam skaičiui, ir su tuo bandymas baigiasi.

Smalsumas

Kombinatorinis skaičius (nk) taip pat vadinamas binominiu koeficientu, nes būtent koeficientas atsiranda binominio vystymosi metu (a + b)n.

Isaacas Newtonas apibendrino šią teoriją, kai eksponentas yra tikrasis skaičius; ši teorema yra žinoma kaip Niutono binominė teorema.

Jau senovėje šis rezultatas buvo žinomas konkrečiu atveju, kai n = 2. Šis atvejis yra paminėtas Elementai iš Euclides.

Nuorodos

  1. Johnsonbaugh Richard. Diskretinė matematika PHH
  2. Kenneth.H. „Rosen“ diskretinė matematika ir jos taikymas. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskretinė matematika. McGRAW-HILL.
  4. Ralph P. Grimaldi. Diskretinė ir kombinacinė matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
  5. Verde Star Luis ... Diskrečios matematikos ir kombinatorijos