Varignono teoretiniai pavyzdžiai ir išspręstos pratybos



The Varignono teorema nustato, kad jei bet kuriame kvadratiniame taške bet kokie taškai yra nuolat prijungti prie šonų, sukuriama lygiagretė. Šią teoriją parengė Pierre Varignon ir paskelbė 1731 m Matematikos elementai".

Knygos paskelbimas įvyko po metų mirties. Kadangi Varinjonas buvo tas, kuris pristatė šią teoriją, jo vardu pavadinta lygiagretė. Teorija pagrįsta Euklido geometrija ir pateikia geometrinius santykius su kvadraterialais.

Indeksas

  • 1 Kas yra Varignono teorema??
  • 2 Pavyzdžiai
    • 2.1 Pirmasis pavyzdys
    • 2.2 Antrasis pavyzdys
  • 3 Išspręstos pratybos
    • 3.1 1 užduotis
    • 3.2 2 pratimas
    • 3.3 3 pratimas
  • 4 Nuorodos

Kas yra Varignono teorema??

Varignonas teigė, kad skaičius, kurį apibrėžia keturšalės vidurys, visada sukels lygiagretę, o jos plotas visada bus pusė kvadrato ploto, jei jis yra plokščias ir išgaubtas. Pavyzdžiui:

Paveiksle mes matome keturšalį plotą X, kuriame šonų viduriniai taškai yra E, F, G ir H, o kai jie yra sujungti, sudaro lygiagretę. Keturkampio plotas bus susidariusių trikampių plotų suma, o pusė jos atitinka lygiagretės plotą.

Kadangi lygiagretės plotis yra pusė kvadrato ploto, galima nustatyti to lygiagretės perimetrą.

Taigi perimetras yra lygus keturkampių įstrižainių ilgių sumai; tai yra dėl to, kad keturšalės mediana bus lygiagretės įstrižainė.

Kita vertus, jei keturkampio įstrižainių ilgiai yra lygiai tokie patys, lygiagretė bus deimantas. Pavyzdžiui:

Iš paveikslo matyti, kad, sujungiant keturkampio šonų vidurinius taškus, gaunamas rombas. Kita vertus, jei keturkampio įstrižainės yra statmenos, lygiagretė bus stačiakampis.

Taip pat lygiagretė bus kvadratas, kai keturkampis turi tą patį ilgį ir taip pat statmenas.

Teorema ne tik įvyksta plokščiuose kvadratuose, bet ir įgyvendinama erdvinėje geometrijoje arba dideliais matmenimis; tai yra, tiems keturkampiams, kurie nėra išgaubti. Pavyzdžiui, tai gali būti oktaedras, kur vidurio taškai yra kiekvieno veido centridai ir sudaro lygiagretųjį.

Tokiu būdu, sujungiant skirtingų figūrų vidurinius taškus, galima gauti lygiagretės. Paprastas būdas patikrinti, ar tai tikrai tiesa, yra tai, kad priešingosios pusės turi būti lygiagrečios, kai jos yra išplėstos.

Pavyzdžiai

Pirmasis pavyzdys

Kitų pusių pailginimas, siekiant parodyti, kad tai yra lygiagretė:

Antrasis pavyzdys

Prisijungdami prie deimanto vidurinių taškų gauname stačiakampį:

Teorija naudojama taškų, esančių keturšalės šonų viduryje, sąjungoje ir gali būti naudojama ir kitų tipų taškams, pvz., Trimatėje dalyje, pentos sekcijoje arba netgi begalinėje sekcijų dalyje ( nth), kad būtų galima padalinti bet kokio keturkampio puses į proporcingus segmentus.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Šiame paveiksle yra kvadratinė ZCD zonos ABCD, kurioje šio krašto vidurys yra PQSR. Patikrinkite, ar suformuota Varignono lygiagretė.

Sprendimas

Galima įsitikinti, kad prisijungus prie PQSR taškų, formuojama Varignono lygiagretė, būtent todėl, kad pareiškime pateikiami kvadrato viduriniai taškai..

Norėdami tai įrodyti, PQSR viduriniai taškai yra vieningi, todėl galima matyti, kad susidaro dar vienas keturkampis. Norėdami parodyti, kad tai yra lygiagretė, tiesiog reikia nubrėžti tiesią liniją nuo taško C iki taško A, kad galėtumėte pamatyti, kad CA yra lygiagrečiai su PQ ir RS.

Panašiai, plečiant PQRS puses, galima pažymėti, kad PQ ir RS yra lygiagrečiai, kaip parodyta sekančiame paveikslėlyje:

2 pratimas

Jis turi stačiakampį, kad visų jo pusių ilgis yra lygus. Sujungus šių pusių vidurio taškus, susidaro rombas ABCD, padalintas iš dviejų įstrižainių AC = 7cm ir BD = 10cm, kurie sutampa su stačiakampio šonų matavimais. Nustatykite deimantinius ir stačiakampius plotus.

Sprendimas

Prisimindami, kad gautos lygiagretės plotas yra pusė keturkampio, galite nustatyti jų plotą, žinodami, kad įstrižainių matas sutampa su stačiakampio kraštais. Taigi jūs turite:

AB = D

CD = d

Astačiakampis = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Arombas = A stačiakampis / 2

Arombas = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

3 pratimas

Šiame paveiksle yra keturkampis, turintis punktų EFGH sąjungą, pateikiami segmentų ilgiai. Nustatykite, ar EFGH sąjunga yra lygiagretė.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2.24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Sprendimas

Atsižvelgiant į segmentų ilgį, galima patikrinti, ar segmentai yra proporcingi; tai yra, mes galime žinoti, ar jie yra lygiagretūs, susiejant keturkampio segmentus taip:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Tada patikrinamas proporcingumas, nes:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Panašiai, brėžiant liniją nuo taško B iki D taško, matome, kad EH yra lygiagreti BD, kaip ir BD lygiagrečiai su FG. Kita vertus, EF yra lygiagreti GH.

Tokiu būdu galima nustatyti, kad EFGH yra lygiagretė, nes priešingos pusės yra lygiagrečios.

Nuorodos

  1. Andres, T. (2010). Tresure matematinė olimpiada. Springer. Niujorkas.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Euklido geometrija. SBM. Rio de Žaneiras.
  3. Howar, E. (1969). Geometrijos tyrimas. Meksika: Ispaniškas - amerikietis.
  4. Ramo, G. P. (1998). Nežinomi Fermat-Torricelli problemų sprendimai. ISBN - Nepriklausomas darbas.
  5. Vera, F. (1943). Geometrijos elementai. Bogota.
  6. Villiers, M. (1996). Kai kurie Euklido geometrijos nuotykiai. Pietų Afrika.