Pirmosios, antrosios ir pavyzdinės Thaleto teorijos teorijos



Pirmasis ir antrasis Miletos Thaleso teorija jie grindžiami trikampių nustatymu iš kitų panašių (pirmosios teoremos) arba perimetrų (antrasis teorema). Jie buvo labai naudingi įvairiose srityse. Pavyzdžiui, pirmoji teorema buvo labai naudinga matuojant dideles struktūras, kai nebuvo sudėtingų matavimo priemonių.

„Thales of Miletus“ buvo graikų matematikas, kuris labai prisidėjo prie geometrijos, iš kurių išsiskiria šie du teoremai (kai kuriuose tekstuose jie taip pat rašo kaip „Thales“) ir jų naudingas programas. Šie rezultatai buvo naudojami per visą istoriją ir leido išspręsti įvairias geometrines problemas.

Indeksas

  • 1 Pirmoji pasakų teorija
    • 1.1 Taikymas
    • 1.2 Pavyzdžiai
  • 2 Antroji pasakų teorija
    • 2.1 Taikymas
    • 2.2 Pavyzdys
  • 3 Nuorodos

Pirmoji pasakų teorija

Pirmoji pasakų teorija yra labai naudinga priemonė, kuri, be kita ko, leidžia sukurti panašų į kitą, anksčiau žinomą, trikampį. Iš čia gauti įvairias teoremo versijas, kurios gali būti taikomos įvairiuose kontekstuose.

Prieš pateikdami savo pareiškimą, prisiminkite kai kurias trikampių panašumo sąvokas. Iš esmės du trikampiai yra panašūs, jei jų kampai yra vienodi (jie turi tą pačią priemonę). Tai lemia tai, kad, jei du trikampiai yra panašūs, jų atitinkamos pusės (arba homologai) yra proporcingos.

Pirmajame Thales teorijoje teigiama, kad jei tam tikrame trikampyje tiesia linija yra lygiagrečia su bet kuria iš jos pusių, naujasis trikampis bus panašus į pradinį trikampį.

Taip pat galite gauti ryšį tarp susidarančių kampų, kaip parodyta toliau pateiktame paveikslėlyje.

Taikymas

Tarp daugelio jų panaudojimo būdingas ypatingas interesas ir tai susiję su vienu iš būdų, kaip buvo atlikti dideli antikvarinių konstrukcijų matavimai, laikas, kai gyveno Thales ir kuriuose nebuvo šiuolaikinių matavimo prietaisų. jie egzistuoja dabar.

Sakoma, kad taip Thales sugebėjo išmatuoti aukščiausią piramidę Egipte, „Cheops“. Dėl to Thales manė, kad saulės spindulių atspindžiai liečia žemę, sudarančią lygiagrečias linijas. Remdamasi šia prielaida, jis pakabino strypą arba cukranendrią vertikaliai į žemę.

Tada jis naudojo dviejų gautų trikampių panašumą, kurį sudarė piramidės šešėlis (kurį galima lengvai apskaičiuoti) ir piramidės aukštis (nežinomas), o kitas - nuo šešėlio ilgio. ir strypo aukštis (kuris taip pat gali būti lengvai apskaičiuojamas).

Naudojant proporciją tarp šių ilgių, galite išvalyti ir žinoti piramidės aukštį.

Nors šis matavimo metodas gali suteikti reikšmingos apytikslės klaidos aukščio tikslumui ir priklauso nuo saulės spindulių lygiagretumo (kuris savo ruožtu priklauso nuo tikslaus laiko), turime pripažinti, kad tai yra labai sumanus idėja ir tai suteikė gerą laiko matavimo alternatyvą.

Pavyzdžiai

Raskite x vertę kiekvienu atveju:

Sprendimas

Čia mes turime dvi linijas, supjaustytas dviem lygiagrečiomis linijomis. Pirmuoju Thales teoremu, kad jų atitinkamos pusės yra proporcingos. Visų pirma:

Sprendimas

Čia mes turime du trikampius, vieną iš jų sudaro segmentas, lygiagrečiai vienai iš kitos pusės (tiksliai x ilgio pusė). Iki pirmosios pasakų teorijos turite:

Antroji pasakų teorija

Antrasis Thales teorema lemia teisingą trikampį, įrašytą į kiekvieno taško apskritimą.

Trikampis, įrašytas į apskritimą, yra trikampis, kurio viršūnės yra perimetruose, todėl yra įtrauktos į šį.

Tiksliau sakant, antroji Thaleso teorija nurodo: atsižvelgiant į centrinio O ir skersmens AC apskritimą, kiekvienas apskritimo taškas B (išskyrus A ir C) nustato dešinįjį trikampį ABC, su stačiu kampu

Atitinkamai atkreipkite dėmesį, kad tiek OA, tiek OB ir OC atitinka apskritimo spindulį; todėl jų matavimai yra vienodi. Iš ten gaunama, kad trikampiai OAB ir OCB yra lygiašiai, kur

Yra žinoma, kad trikampio kampų suma yra lygi 180º. Naudodami šį trikampį ABC turite:

2b + 2a = 180º.

Taip pat turime, kad b + a = 90º ir b + a =

Atkreipkite dėmesį, kad teisingas trikampis, pateiktas „Thales“ antrojo teoremo, yra būtent tas, kurio hipotenzija yra lygi apskritimo skersmeniui. Todėl tai visiškai lemia puslankis, kuriame yra trikampio taškai; šiuo atveju viršutinis puslankis.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad dešiniajame trikampyje, gautame naudojant Thales antrąjį teoremą, hipotenzija yra padalinta į dvi lygias dalis OA ir OC (spindulys). Savo ruožtu ši priemonė yra lygi segmentui OB (taip pat ir spinduliui), kuris atitinka trikampio ABC medianą B.

Kitaip tariant, dešiniojo trikampio ABC medianos ilgis, atitinkantis B viršūnę, yra visiškai nustatytas pusė hipotenzijos. Prisiminkite, kad trikampio mediana yra segmentas nuo vienos viršūnės iki priešingos pusės vidurio; šiuo atveju BO segmentas.

Apribotas perimetras

Kitas būdas pamatyti Thales antrąjį teoremą yra per ratą, susietą su dešiniuoju trikampiu.

Apskritai apskritimas, susietas su daugiakampiu, susideda iš perimetro, kuris eina per kiekvieną jo viršūnę, kai tik galima jį atsekti.

Naudojant antrąją Thales teoriją, turint omenyje dešinįjį trikampį, mes visada galime pastatyti aplinką, apribotą šitą, spinduliu, kuris yra lygus pusei hipotenzijos ir apskritimo centro (apskritimo centro), lygus hipotenažo viduriui..

Taikymas

Labai svarbus taikinių antrosios teoremos taikymas, o galbūt labiausiai naudojamas, yra rasti tam tikro apskritimo liestines, taškas P, kuris yra išorinis (žinomas).

Atkreipkite dėmesį į tai, kad atsižvelgiant į perimetrą (mėlynos spalvos brėžinyje žemiau esančiame paveikslėlyje) ir išorinį tašką P, yra dvi linijos, liečiančios per apskritimą, einančią per P. T T ir T 'yra tangencijos taškai, r apskritimo spindulys ir Arba centras.

Yra žinoma, kad segmentas, kuris eina iš apskritimo centro į jo liestinės tašką, yra statmenas šiai liestinei. Tada OTP kampas yra tiesus.

Iš to, ką matėme anksčiau pirmojoje Thales teorijoje ir skirtingose ​​versijose, matome, kad galima įterpti OTP trikampį kitame apskritime (raudonai).

Analogiškai gaunama, kad OT'P trikampis gali būti įrašytas per tą patį ankstesnį apskritimą.

Antruoju Thalso teorema taip pat gauname, kad šio naujo apskritimo skersmuo yra tiksliai trikampio OTP (kuris yra lygus trikampio OT'P hipotenzijai) hipotensija, o centras yra šio hipotenzijos vidurio taškas.

Norint apskaičiuoti naujo apskritimo centrą, pakanka apskaičiuoti vidurio tašką tarp centro - tarkim, M - pradinio apskritimo (kurį mes jau žinome) ir taško P (kurį taip pat žinome). Tada spindulys bus atstumas tarp šio taško M ir P.

Raudonojo apskritimo spinduliu ir centru galime rasti jo Dekarto lygtį, kurią prisimename (x-h).2 + (y-k)2 = c2, kur c yra spindulys ir taškas (h, k) yra apskritimo centras.

Dabar žinodami abiejų apskritimų lygtis, mes galime susikirpti jas išsprendžiant iš jų sudarytų lygčių sistemą ir tokiu būdu gaunant tangencijos T ir T taškus. Galiausiai, norint sužinoti norimas liestines linijas, pakanka rasti tiesių linijų, einančių per T ir P, ir T 'ir P lygtis.

Pavyzdys

Apsvarstykite skersmens AC, centro O ir 1 cm spindulio apskritimą. Leiskite B būti taško perimetru, kad AB = AC. Kiek AB matuoja?

Sprendimas

Antruoju Thales teoremu mes turime, kad trikampis ABC yra stačiakampis, o hipotenezė atitinka skersmenį, kuris šiuo atveju yra 2 cm (spindulys yra 1 cm). Tada pagal Pitagoro teoremą turime:

Nuorodos

  1. Ana Lira, P. J. (2006). Geometrija ir trigonometrija. „Zapopan“, „Jalisco“: „Threshold Editions“.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Matematikos metodologija ir taikymas E.S.O. Švietimo ministerija.
  4. IGER. (2014). Matematika Antrasis pusmetis Zaculeu. Gvatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2. „Zapopan“, „Jalisco“: „Threshold Editions“.
  6. M., S. (1997). Trigonometrija ir analitinė geometrija. „Pearson Education“.
  7. Pérez, M. A. (2009). Matematikos istorija: iššūkiai ir užkariavimai per jų personažus. Redakcinės vizijos knygos.
  8. Vilorija, N., ir Leal, J. (2005). Plokščios analizės geometrija. Venesuelos redakcija C. A.