Moivro teorijos apie tai, kas sudaro, demonstravimas ir išspręstos pratybos

The Moivre teorema taiko pagrindinius algebros procesus, tokius kaip galios ir šaknų išgavimas sudėtingais skaičiais. Teoremą įvardijo garsus prancūzų matematikas Abraomas de Moivre (1730 m.), Kuris susiejo sudėtingus skaičius su trigonometrija.

Abraomas Moivre šią asociaciją padarė per krūtinės ir kosinijos išraiškas. Šis matematikas sukūrė formą formulę, per kurią galima padidinti komplekso skaičių z galios n, kuris yra teigiamas sveikasis skaičius, didesnis arba lygus 1.

Indeksas

• 1 Kas yra Moivre teorema??
• 2 Demonstravimas
  • 2.1 Indukcinė bazė
  • 2.2 Indukcinė hipotezė
  • 2.3 Tikrinimas
  • 2.4 Neigiamas sveikasis skaičius
• 3 Išspręstos pratybos
  • 3.1 Teigiamų galių apskaičiavimas
  • 3.2 Neigiamų galių apskaičiavimas
• 4 Nuorodos

Kas yra Moivre teorema??

Moivre teorema nurodo:

Jei turite kompleksinį skaičių poliarine forma z = r_Ɵ, kur r yra komplekso skaičiaus z modulis, o kampas Ɵ vadinamas bet kurio komplekso skaičiaus amplitude arba argumentu su 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, apskaičiuojant jo n-osios galios nereikės padauginti jo n-kartus; tai yra, nebūtina gaminti šio produkto:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_Ɵ   n-kartus.

Priešingai, teorema sako, kad rašant z jo trigonometrine forma, apskaičiuojant n-ą galią, mes elgiamės taip:

Jei z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), tada zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Pavyzdžiui, jei n = 2, tada z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jei turite, kad n = 3, tada z³ = z² _* z. Be to:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Tokiu būdu galima nustatyti sinusinio ir kosininio trigonometrinius santykius kampo daugybėms, jei yra žinomi kampo trigonometriniai santykiai..

Tokiu pačiu būdu jis gali būti naudojamas ieškant tikslesnių ir mažiau painių išraiškų, susijusių su komplekso numerio z šaknimi, kad zⁿ = 1.

Norėdami parodyti Moivre teoremą, naudojamas matematinio indukcijos principas: jei sveikasis skaičius "a" turi savybę "P" ir jei bet kuris sveikasis skaičius "n" yra didesnis nei "a", turintis "P" savybę, yra tenkina, kad n + 1 taip pat turi nuosavybę „P“, tada visi sveikieji skaičiai, didesni arba lygūs „a“, turi nuosavybę „P“.

Demonstravimas

Tokiu būdu teoremo įrodymas atliekamas atlikus šiuos veiksmus:

Indukcinė bazė

Pirmasis patikrinimas n = 1.

Patinka z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1)_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], mes turime, kad n = 1 teorema yra įvykdyta.

Indukcinė hipotezė

Daroma prielaida, kad formulė tinka kai kuriems teigiamiems sveikiesiems skaičiams, ty n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Tikrinimas

Paaiškėjo, kad tai tiesa n = k + 1.

Patinka z^{k + 1}= z^k _* z, tada z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Tada išraiškos dauginamos:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Kol kas r veiksnys ignoruojamas^{k + 1},  ir bendras i faktorius pašalinamas:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Kaip aš² = -1, mes jį pakeisime ir mes gauname:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Dabar užsakoma tikroji ir įsivaizduojama dalis:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Siekiant supaprastinti išraišką, taikomos kosinino ir sinuso kampų trigonometrinės tapatybės, kurios yra:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = nuodėmė A _* cos B - cos A _* cos B.

Tokiu atveju kintamieji yra kampai Ɵ ir kƟ. Taikant trigonometrines tapatybes, turime:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Tokiu būdu išraiška išlieka:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Taigi galima parodyti, kad rezultatas tinka n = k + 1. Matematinio indukcijos principu daroma išvada, kad rezultatas tinka visiems teigiamiems sveikiesiems skaičiams; tai yra, n ≥ 1.

Bendras neigiamas

Moivre teorema taip pat taikoma, kai n ≤ 0. Apsvarstykite neigiamą sveikąjį skaičių „n“; tada „n“ gali būti parašytas kaip „-m“, ty n = -m, kur „m“ yra teigiamas sveikasis skaičius. Todėl:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Norėdami gauti eksponentą „m“ teigiamai, išraiška parašyta atvirkščiai:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Dabar naudojama, jei z = a + b * i yra kompleksinis skaičius, tada 1 ÷ z = a-b * i. Todėl:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Naudojant cos (x) = cos (-x) ir kad -sen (x) = sin (-x), turime:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Tokiu būdu galime pasakyti, kad teorema taikoma visoms „n“ sveikojo skaičiaus reikšmėms..

Išspręstos pratybos

Teigiamų galių apskaičiavimas

Viena iš operacijų su sudėtingais skaičiais poline forma yra dauginimas tarp dviejų iš jų; tokiu atveju moduliai dauginami ir argumentai pridedami.

Jei turite du sudėtingus skaičius z₁ ir z₂ ir norite apskaičiuoti (z₁* z₂)², Tada mes elgiamės taip:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ.)₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ.)₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Taikoma paskirstymo nuosavybė:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ.)_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Jie suskirstyti į grupes, vartojant terminą „i“ kaip bendrą išraiškos veiksnį:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Kaip aš² = -1, pakeičiama frazėje:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Realieji terminai yra pergrupuoti tikrais ir įsivaizduojamais vaizdais:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Galiausiai taikomos trigonometrinės savybės:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Apibendrinant:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

1 pratimas

Įrašykite komplekso numerį poline forma, jei z = - 2 -2i. Tada, naudodami Moivre teoremą, apskaičiuokite z⁴.

Sprendimas

Komplekso numeris z = -2 -2i išreiškiamas stačiakampio formos z = a + bi, kur:

a = -2.

b = -2.

Žinant, kad polinė forma yra z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), turite nustatyti „r“ modulio vertę ir argumento „Ɵ“ vertę. Kaip r = √ (a² + b²), nurodytos vertės pakeičiamos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Tada, norint nustatyti „Ɵ“ vertę, taikoma stačiakampioji forma, kurią sudaro ši formulė:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kaip įdegis (Ɵ) = 1 ir jūs turite<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Kadangi "r" ir "Ɵ" vertė jau buvo gauta, komplekso numeris z = -2 -2i gali būti išreikštas poline forma, pakeičiant vertes:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Dabar „Moivre“ teorema naudojama apskaičiuoti z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

2 pratimas

Raskite kompleksinių numerių produktą, išreiškiant jį poline forma:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Tada apskaičiuokite (z1 * z2) ².

Sprendimas

Pirmiausia suformuojamas nurodytas skaičius:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100)^o + i_* 100 sen^o)]

Tada dauginkite modulius kartu ir pridėkite argumentus:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50)^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Sąvoka supaprastinta:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Galiausiai taikoma „Moivre“ teorija:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Neigiamų galių apskaičiavimas

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas z₁ ir z₂ poliarine forma modulis yra padalintas ir argumentai atimami. Taigi koeficientas yra z₁ ÷ z₂ ir jis išreiškiamas taip:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Kaip ir ankstesniu atveju, jei norite apskaičiuoti (z1 ÷ z2) ³, pirmiausia padalinys padalinamas ir tada naudojama „Moivre“ teorema.

3 pratimas

Atsižvelgiant į:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

apskaičiuoti (z1 ÷ z2) ³.

Sprendimas

Atsižvelgiant į pirmiau aprašytus veiksmus, galima daryti išvadą, kad:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Nuorodos

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
2. Croucher, M. (s.f.). Iš Moivro „Trig Identities“ teorijos. Wolframo demonstracijų projektas.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematikos enciklopedija.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra ir trigonometrija.
5. Pérez, C. D. (2010). „Pearson Education“.
6. Stanley, G. (s.f.). Tiesinė algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus „Pearson Education“.