Bolzano teorijos paaiškinimas, taikomosios programos ir pratimai

The Bolzano teorema nustato, kad jei funkcija yra nepertraukiama visuose uždarojo intervalo taškuose [a, b] ir yra įsitikinusi, kad „a“ ir „b“ vaizdas (pagal funkciją) turi priešingus ženklus, tada bus bent vienas taškas "C" atvirame intervale (a, b) taip, kad funkcija "c" įvertinta lygi 0.

Šią teoriją 1850 m. Paskelbė filosofas, teologas ir matematikas Bernardas Bolzanas. Šis mokslininkas, gimęs dabartinėje Čekijos Respublikoje, buvo vienas pirmųjų matematikų istorijoje, kad oficialiai demonstruotų nuolatinių funkcijų savybes.

Indeksas

• 1 Paaiškinimas
• 2 Demonstravimas
• 3 Kas tai yra??
• 4 Išspręstos pratybos
  • 4.1 1 užduotis
  • 4.2 2 pratimas
• 5 Nuorodos

Paaiškinimas

Bolzano teorema taip pat žinoma kaip tarpinių verčių teorija, kuri padeda nustatyti tam tikrų tikrosios kintamojo realių funkcijų konkrečias vertes, ypač nulius..

Nurodytoje funkcijoje f (x) tęsiasi - tai yra, kad f (a) ir f (b) yra sujungtos kreive, kur f (a) yra žemiau x ašies (yra neigiama), ir f (b) yra virš x ašies (ji yra teigiama) arba atvirkščiai, grafiškai x ašyje bus nupjautas taškas, kuris atspindi tarpinę vertę "c", kuri bus tarp "a" ir "b", ir f (c) reikšmė bus lygus 0.

Grafiškai analizuojant Bolzano teoremą, galime žinoti, kad kiekvienai funkcijai f nepertraukiamai apibrėžta intervale [a, b], kur f (a)_*f (b) yra mažesnis nei 0, intervale (a, b) bus bent viena šios funkcijos šaknis "c".

Ši teorija nenustato ta atvirojo intervalo esančių taškų skaičiaus, tik nurodo, kad yra bent 1 taškas.

Demonstravimas

Norėdami įrodyti Bolzano teoremą, manoma, kad praradus bendrumą, f (a) < 0 y f(b) > 0; tokiu būdu gali būti daug reikšmių tarp „a“ ir „b“, kurių f (x) = 0, bet jums reikia tik parodyti, kad yra vienas.

Pradėkite vertindami f viduryje (a + b) / 2. Jei f ((a + b) / 2) = 0, bandymas baigiasi čia; priešingu atveju f ((a + b) / 2) yra teigiamas arba neigiamas.

Vienas iš [a, b] intervalo pusių yra pasirinktas taip, kad galuose įvertintos funkcijos požymiai būtų skirtingi. Šis naujas intervalas bus [a1, b1].

Dabar, jei f įvertintas [a1, b1] vidurio taške, nėra nulis, tada atliekama tokia pati operacija kaip ir anksčiau; tai yra, pusė šios intervalo, atitinkančio ženklų būklę, yra pasirinkta. Būkite šis naujas intervalas [a2, b2].

Jei šis procesas tęsiamas, bus imtasi dviejų paveldėjimų an ir bn, kad:

an didėja ir bn mažėja:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jei apskaičiuojate kiekvieno intervalo [ai, bi] ilgį, turėsite:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Todėl riba, kai n linksta į begalę (bn-an), yra lygi 0.

Naudojant šį a didėja ir ribojamas ir bn mažėja ir ribojama, turi būti „c“ reikšmė, kad:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

An yra „c“, o bn riba taip pat yra „c“. Todėl, atsižvelgiant į bet kurį δ> 0, visada yra „n“, kad intervalas [an, bn] būtų intervale (c-δ, c + δ).

Dabar reikia parodyti, kad f (c) = 0.

Jei f (c)> 0, tada kadangi f yra nepertraukiamas, yra ε> 0, kad f yra teigiamas per visą intervalą (c-e, c + ε). Tačiau, kaip nurodyta pirmiau, egzistuoja reikšmė „n“, kad f pasikeičia į [an, bn] ir, be to, [an, bn] yra (c-ε, c + ε), kas yra prieštaravimas.

Jei f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 taip, kad f yra neigiamas per visą intervalą (c-e, c + ε); tačiau yra „n“ reikšmė, kad f pasikeičia į [an, bn]. Pasirodo, kad [an, bn] yra (c-ε, c + ε), kuris taip pat yra prieštaravimas.

Todėl f (c) = 0 ir tai mes norėjome parodyti.

Kas tai yra??

Iš savo grafinio interpretavimo Bolzano teorema naudojama norint surasti šaknis ar nulius nepertraukiamoje funkcijoje per bisection (apytikslis), kuris yra papildomas paieškos metodas, kuris visada skirsto intervalus į 2.

Tada paimkite intervalą [a, c] arba [c, b], kur pasikeičia ženklas, ir pakartokite procesą, kol intervalas yra mažesnis ir mažesnis, kad galėtumėte pasiekti norimą vertę; tai yra vertė, kurią funkcija daro 0.

Apibendrinant galima pasakyti, kad, norint taikyti Bolzano teoremą ir taip surasti šaknis, apriboti funkcijos nulius arba suteikti lygtį, atlikite šiuos veiksmus:

- Patikrinama, ar f yra nuolatinė funkcija intervale [a, b].

- Jei intervalas nesuteikiamas, reikia rasti vieną, kur funkcija yra nepertraukiama.

- Tikrinama, ar intervalo kraštutinumai vertinami f.

- Jei nepasiekiami priešingi požymiai, intervalas turėtų būti padalintas į du vidinius taškus, naudojant vidurio tašką.

- Įvertinkite funkciją viduryje ir patikrinkite, ar įvykdyta Bolzano hipotezė, kur f (a) _* f (b) < 0.

- Priklausomai nuo nustatytos reikšmės ženklo (teigiamo arba neigiamo), procesas kartojamas su nauju subintervaliu, kol bus įvykdyta minėta hipotezė.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Nustatykite, ar funkcija f (x) = x² - 2, turi bent vieną realaus sprendimo intervalą [1,2].

Sprendimas

Turime funkciją f (x) = x² - 2. Kadangi tai yra polinomas, tai reiškia, kad jis yra nepertraukiamas bet kuriuo intervalu.

Paprašoma nustatyti, ar intervale [1, 2] yra realus sprendimas, todėl dabar reikia pakeisti funkcijos intervalo galus, kad sužinotumėte šių ženklų ženklą ir žinotumėte, ar jie atitinka skirtingos sąlygos:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (neigiamas)

f (2) = 2² - 2 = 2 (teigiamas)

Todėl f (1) ≠ ženklas f (2).

Tai užtikrina, kad yra bent vienas taškas "c", priklausantis intervalui [1,2], kur f (c) = 0.

Tokiu atveju „c“ reikšmę galima lengvai apskaičiuoti taip:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Taigi √2 ≈ 1,4 priklauso intervalui [1,2] ir tenkina, kad f (√2) = 0.

2 pratimas

Įrodyti, kad lygtis x⁵ + x + 1 = 0 turi bent vieną tikrą sprendimą.

Sprendimas

Pirmiausia pažymėkite, kad f (x) = x⁵ + x + 1 yra polinominė funkcija, o tai reiškia, kad jis yra nuolatinis visuose tikruose skaičiumi.

Tokiu atveju intervalas nenurodomas, todėl vertės turėtų būti pasirinktos intuityviai, pageidautina arti 0, kad būtų galima įvertinti funkciją ir rasti žymenį:

Jei naudojate intervalą [0, 1], turite:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Kadangi ženklo nėra, procesas kartojamas su kitu intervalu.

Jei naudojate intervalą [-1, 0], turite:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Šiuo intervalu pasikeičia ženklas: f (-1) ženklas f (0), o tai reiškia, kad funkcija f (x) = x⁵ + x + 1 turi bent vieną tikrą šaknį "c" intervale [-1, 0], kad f (c) = 0. Kitaip tariant, tiesa, kad x⁵ + x + 1 = 0 turi realią sprendimą intervale [-1,0].

Nuorodos

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Inžinierių ir studentų matematikos vadovas ... Redakcinis MIR.
2. George, A. (1994). Matematika ir protas. „Oxford University Press“.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matematinė analizė Trimis tomais ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Vidurinio ugdymo mokytojai. II tomas. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Pagrindinės analizės savybės R. Editores, gruodžio 20 d.
6. Piskunov, N. (1980). Diferencinis ir integruotas skaičiavimas ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Ekonominės analizės matematika. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Nuolatinė simetrija: nuo Euklido iki Kleino. American Mathematical Soc.