Chebyshovo teorema, kurią ji sudaro, programos ir pavyzdžiai



The Chebysovo teorema (arba Čebysovo nelygybė) yra vienas svarbiausių klasikinių tikimybės teorijos rezultatų. Tai leidžia įvertinti įvykio, aprašyto atsitiktinio kintamojo X, tikimybę, suteikiant mums matmenį, kuris nepriklauso nuo atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo, bet nuo X dispersijos..

Teorija yra pavadinta po to, kai Rusijos matematikas Pafnuty Chebyshov (taip pat parašytas kaip Chebychev arba Tchebycheff), kuris, nepaisant to, kad jis nebuvo pirmasis, išaiškinęs šią teoriją, buvo pirmasis, kuris 1867 m..

Ši nelygybė, arba tos, kurios pagal jų charakteristikas vadinamos „Chebyshov“ nelygybe, dažniausiai naudojamos apytikriai tikimybių apskaičiavimui pagal matmenis.

Indeksas

  • 1 Ką sudaro??
  • 2 Programos ir pavyzdžiai
    • 2.1 Susiejimo tikimybės
    • 2.2 Ribinių teorijų demonstravimas
    • 2.3 Mėginio dydis
  • 3 Nelygybės tipas Chebyshov
  • 4 Nuorodos

Ką ji sudaro??

Tikimybių teorijos tyrime atsitinka, kad jei žinome atsitiktinio kintamojo X pasiskirstymo funkciją, mes galime apskaičiuoti jo tikėtiną vertę - arba matematinę lūkesčius E (X) - ir jos variaciją Var (X), tol, kol minėtų sumų yra. Tačiau abipusė nebūtinai yra teisinga.

Tai reiškia, kad žinant E (X) ir Var (X), nebūtinai galima gauti X paskirstymo funkciją, todėl kai kurių k> 0 kiekių, pvz., P (| X |> k), yra labai sunku gauti. Tačiau dėl Chebysovo nelygybės galima įvertinti atsitiktinio kintamojo tikimybę.

Chebysovo teorema mums sako, kad jei mes turime atsitiktinį kintamąjį X per pavyzdžio erdvę S su tikimybės funkcija p ir jei k> 0, tada:

Programos ir pavyzdžiai

Tarp daugelio programų, kurias turi Chebysovo teorema, galima paminėti:

Tikimybių ribojimas

Tai yra labiausiai paplitusi programa ir naudojama viršutinei ribai P (| X-E (X) | ≥k), kur k> 0, tik su dispersijos ir atsitiktinio kintamojo X tikimybe, nežinant tikimybės funkcijos.

1 pavyzdys

Tarkime, kad per savaitę įmonėje pagamintų produktų skaičius yra atsitiktinis kintamasis, kurio vidurkis yra 50.

Jei žinome, kad gamybos savaitės dispersija yra lygi 25, ką mes galime pasakyti apie tikimybę, kad šią savaitę gamyba vidutiniškai skirsis daugiau nei 10?

Sprendimas

Taikydami Čebysovo nelygybę turime:

Iš to galime pasakyti, kad tikimybė, kad gamybos savaitę straipsnių skaičius viršys vidutiniškai daugiau nei 10, yra ne daugiau kaip 1/4.

Ribinių teorijų demonstravimas

Chebysovo nelygybė vaidina svarbų vaidmenį demonstruojant svarbiausias ribines teorijas. Pavyzdžiui, turime:

Silpnas didelių skaičių įstatymas

Šis įstatymas nustato, kad nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų, kurių vidutinis pasiskirstymas yra E (Xi) = μ, ir variacijos (X) = σ seka X1, X2, ..., Xn, ...2, ir žinomas vidutinis pavyzdys:

Tada k> 0 turite:

Arba lygiai taip pat:

Demonstravimas

Pirmiausia pastebėkime:

Kadangi X1, X2, ..., Xn yra nepriklausomi, tai reiškia, kad:

Todėl galima patvirtinti:

Tada, naudojant Chebyshov teoriją, turime:

Galiausiai teorema atsiranda dėl to, kad riba dešinėje yra nulis, kai n linkęs į begalybę.

Pažymėtina, kad šis testas buvo atliktas tik tuo atveju, kai egzistuoja Xi dispersija; tai yra, ji nesiskiria. Taigi matome, kad teorema visada yra teisinga, jei egzistuoja E (Xi).

Chebysovo ribinė teorija

Jei X1, X2, ..., Xn, ... yra nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų seka, kad yra keletas C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Demonstravimas

Kadangi dispersijų eiliškumas yra vienodai apribotas, mes turime Var (Sn) ≤ C / n, visiems natūraliems n. Bet mes žinome, kad:

Padarydami n tendenciją į begalybę, šie rezultatai:

Kadangi tikimybė negali viršyti 1 vertės, gaunamas norimas rezultatas. Dėl šios teorijos galėtume paminėti konkretų Bernulio atvejį.

Jei eksperimentas kartojamas n kartų nepriklausomai su dviem galimais rezultatais (nesėkme ir sėkme), kur p yra sėkmės tikimybė kiekviename eksperimente ir X yra atsitiktinis kintamasis, atitinkantis gautų laimėjimų skaičių, tada kiekvienam k> 0 jūs turite:

Mėginio dydis

Kalbant apie dispersiją, Chebyshov nelygybė leidžia mums rasti pavyzdžio dydį n, kuris yra pakankamas, kad būtų užtikrinta, jog tikimybė, kad įvyksta „Sn-μ |> = k“, yra tokia maža, kaip pageidaujama, o tai leidžia mums turėti apytikslių vidurkį.

Tiksliau, leiskite X1, X2, ... Xn būti n dydžio nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų pavyzdžiu ir leiskite manyti, kad E (Xi) = μ ir jo variacija σ2. Tada, dėl Chebyshov nelygybės, turime:

Pavyzdys

Tarkime, kad X1, X2, ... Xn yra nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų, turinčių Bernoulli pasiskirstymą, pavyzdys, kad jie imtųsi vertės 1 tikimybe p = 0,5.

Koks turėtų būti mėginio dydis, kad būtų galima užtikrinti, jog tikimybė, kad skirtumas tarp aritmetinio vidurkio Sn ir tikėtinos vertės (daugiau nei 0,1) yra mažesnis arba lygus 0. 01?

Sprendimas

Turime, kad E (X) = μ = p = 0,5 ir kad Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Dėl Čebysovo nelygybės, bet kuriai k> 0 turime:

Dabar, atsižvelgiant k = 0,1 ir δ = 0,01, turime:

Tokiu būdu daroma išvada, kad mažiausiai 2500 mėginio dydis reikalingas siekiant užtikrinti, kad įvykio tikimybė | Sn - 0,5 |> = 0,1 yra mažesnė nei 0,01.

Nelygybės tipas Chebyshov

Yra įvairių nelygybių, susijusių su Čebysovo nelygybe. Vienas iš žinomiausių yra Markovo nelygybė:

Šioje išraiška X yra ne neigiamas atsitiktinis kintamasis k, r> 0.

Markovo nelygybė gali būti įvairių formų. Pvz., Tegul Y yra neegegatyvus atsitiktinis kintamasis (taigi P (Y> = 0) = 1) ir manau, kad egzistuoja E (Y) = μ. Tarkime, kad (E (Y))r= μr egzistuoja kai kuris sveikasis skaičius r> 1. Tada:

Kita nelygybė yra „Gauss“ nelygybė, kuri mums sako, kad atsižvel- giant į unimodalinį atsitiktinį kintamąjį X su režimu nuliu, tada k> 0,

Nuorodos

  1. Kai Lai Chung Elementarumo teorijos su stochastiniais procesais. „Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. „Rosen“ diskretinė matematika ir jos taikymas. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Tikimybė ir statistinės programos. S.A. MEKSIKAS ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 m. Diskrečios matematikos problemos. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Tikimybės teorija ir problemos. McGRAW-HILL.