Vektorių algebros pagrindai, dydžiai, vektoriai



The vektoriaus algebra yra matematikos filialas, atsakingas už linijinių lygčių, vektorių, matricų, vektorių erdvių ir jų linijinių transformacijų sistemas. Tai susiję su tokiomis sritimis kaip inžinerija, diferencialinių lygčių sprendimas, funkcinė analizė, operacijų tyrimai, kompiuterinė grafika..

Kita sritis, kuri priėmė linijinį algebrą, yra fizika, nes dėl to ji buvo sukurta fiziniams reiškiniams tirti, apibūdinant juos naudojant vektorius. Tai leido geriau suprasti visatą.

Indeksas

  • 1 Pagrindai
    • 1.1 Geometriškai
    • 1.2 Analiziškai
    • 1.3 Aksiomatiškai
  • 2 Matmenys
    • 2.1 Scalar dydis
    • 2.2 Vektoriaus dydis
  • 3 Kas yra vektoriai?
    • 3.1 Modulis
    • 3.2 Adresas
    • 3.3
  • 4 Vektorių klasifikavimas
    • 4.1 Fiksuotas vektorius
    • 4.2 Laisvas vektorius
    • 4.3 Slankusis vektorius
  • 5 Vektorių savybės
    • 5.1 lygiaverčiai vektoriai
    • 5.2 Ekvivalentiniai vektoriai
    • 5.3 Vektorių lygybė
    • 5.4 Priešais vektoriai
    • 5.5 Vieneto vektorius
    • 5.6 Nulinis vektorius
  • 6 Vektoriaus komponentai
    • 6.1 Pavyzdžiai
  • 7 Operacijos su vektoriais
    • 7.1 Vektorių pridėjimas ir atėmimas
    • 7.2 Vektorių dauginimas
  • 8 Nuorodos

Pagrindai

Vektorinė algebra kilo iš kvaternionų (realių skaičių pratęsimo) 1, i, j ir k tyrimas, taip pat Gesbso ir Heaviside'o skatinama Dekarto geometrija, kuri suprato, kad vektoriai tarnauja kaip instrumentas atstovauti įvairiems fiziniams reiškiniams.

Vektorinė algebra yra tiriama per tris pamatus:

Geometriškai

Vektorius vaizduoja linijos, turinčios orientaciją, ir tokios operacijos kaip pridėjimas, atėmimas ir dauginimas iš realių skaičių yra apibrėžtos geometriniais metodais.

Analitiškai

Vektorių ir jų operacijų aprašymas atliekamas skaičiais, vadinamais komponentais. Šio tipo aprašymas yra geometrinio atvaizdavimo rezultatas, nes naudojama koordinačių sistema.

Aksiomatiškai

Atliekamas vektorių aprašymas, neatsižvelgiant į koordinačių sistemą ar bet kokį geometrinį vaizdą.

Skaitmenų erdvėje tyrimas atliekamas per jų atstovavimą etaloninėje sistemoje, kuri gali būti viena ar daugiau matmenų. Tarp pagrindinių sistemų yra:

- Vieno matmens sistema, kuri yra linija, kurioje vienas taškas (O) reiškia kilmę ir kitas taškas (P) nustato skalę (ilgį) ir jo kryptį:

- Stačiakampė koordinačių sistema (dvimatė), kurią sudaro dvi statmenos linijos, vadinamos x ašimi ir y ašimi, kurios eina per tašką (O); tokiu būdu plokštuma yra suskirstyta į keturis regionus, vadinamus kvadrantais. Šiuo atveju taškas (P) plokštumoje yra atstumas tarp ašių ir P.

- Poliarinės koordinatės sistema (dvimatė). Tokiu atveju sistema susideda iš taško O (kilmė), kuri vadinama poliu ir spinduliu, kurio kilmė yra O, vadinama poline ašimi. Šiuo atveju plokštumos taškas P, atsižvelgiant į polių ir polinę ašį, yra nustatomas pagal kampą (Ɵ), kurį sudaro atstumas tarp kilmės ir taško P.

- Stačiakampė trimatė sistema, sudaryta iš trijų statmenų linijų (x, y, z), kurių kilmės vieta yra O. Suformuotos trys koordinačių plokštumos: xy, xz ir yz; erdvė bus suskirstyta į aštuonis regionus, vadinamus oktanais. Erdvės taško P nuorodą nurodo atstumai, esantys tarp plokštumų ir P.

Matmenys

Didelis dydis - tai fizinis kiekis, kuris gali būti skaičiuojamas arba matuojamas skaitine verte, kaip ir kai kurių fizinių reiškinių atveju; vis dėlto dažnai reikia sugebėti apibūdinti šiuos reiškinius su kitais veiksniais, kurie nėra skaitiniai. Todėl šie dydžiai skirstomi į du tipus:

Scalar dydis

Jie yra tokie kiekiai, kurie yra apibrėžti ir pateikiami skaitmeniniu būdu; tai yra modulis kartu su matavimo vienetu. Pavyzdžiui:

a) Laikas: 5 sekundės.

b) Masė: 10 kg.

c) Tūris: 40 ml.

d) Temperatūra: 40ºC.

Vektoriaus dydis

Jie yra tokie kiekiai, kuriuos apibrėžia ir vaizduoja modulis kartu su įrenginiu, taip pat jausmas ir kryptis. Pavyzdžiui:

a) Greitis: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Pagreitis: 13 m / s2; S 45º E.

c) jėga: 280 N, 120º.

d) Svoris: -40 ĵ kg-f.

Vektoriniai dydžiai vaizduojami vektoriais.

Kas yra vektoriai?

Vektoriai yra vektoriniai dydžiai; ty jie yra tiesios linijos segmentai, kuriuose jų galutinis galas yra rodyklės galas.

Tai lemia jų modulis arba segmento ilgis, jų prasmė, kurią rodo jų rodyklės galas ir jų kryptis pagal liniją, kuriai jie priklauso. Vektoriaus kilmė taip pat žinoma kaip taikymo vieta.

Vektoriaus elementai yra šie:

Modulis

Tai atstumas nuo vektoriaus pradžios iki galo, atstovaujamas tikruoju skaičiumi kartu su įrenginiu. Pavyzdžiui:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Adresas

Tai yra kampo, esančio tarp x ašies (nuo teigiamo) ir vektoriaus, matas, taip pat kardininiai taškai (šiaurės, pietų, rytų ir vakarų)..

Sense

Ją suteikia rodyklė, esanti vektoriaus gale, nurodydama, kur ji yra nukreipta.

Vektorių klasifikavimas

Paprastai vektoriai klasifikuojami kaip:

Fiksuotas vektorius

Tai yra tas, kurio taikymo vieta (kilmė) yra nustatyta; tai reiškia, kad ji lieka susieta su vietos tašku, priežasties, kodėl ji negali būti perkelta į jį.

Laisvas vektorius

Jis gali laisvai judėti erdvėje, nes jo kilmė pereina į bet kurį tašką nekeičiant jo modulio, jausmo ar krypties.

Slankusis vektorius

Tai yra tas, kuris gali perkelti savo kilmę savo veikimo linijoje nekeičiant jo modulio, jausmo ar krypties.

Vektorių savybės

Tarp pagrindinių vektorių savybių yra:

Equipolentes vektoriai

Jie yra tie laisvi vektoriai, turintys tą patį modulį, kryptį (arba jie yra lygiagrečiai) ir supranta, kad stumdomasis vektorius arba fiksuotas vektorius.

Ekvivalentiniai vektoriai

Tai atsitinka, kai du vektoriai turi tą patį adresą (arba yra lygiagrečiai), ta pačia prasme, ir nepaisant skirtingų modulių ir taikomųjų taškų, jie sukelia tokį patį poveikį.

Vektorių vienodumas

Jie turi tokį patį modulį, kryptį ir prasmę, nors jų pradiniai taškai yra skirtingi, o tai leidžia lygiagrečiam vektoriui judėti, nepaveikiant jo..

Priešais vektorius

Jie yra tie, kurie turi tą patį modulį ir kryptį, tačiau jų prasmė yra priešinga.

Vektorinis vienetas

Tai tas, kuriame modulis yra lygus įrenginiui (1). Tai gaunama dalijant vektorių iš jo modulio ir naudojama vektoriaus kryptimi ir prasme nustatyti plokštumoje arba erdvėje, naudojant bazę arba suvienodintus normalizuotus vektorius, kurie yra:

Nulinis vektorius

Tai tas, kurio modulis yra lygus 0; tai yra, jų kilmės ir kraštutinumas sutampa tame pačiame taške.

Vektoriaus komponentai

Vektoriaus komponentai yra tos vektoriaus projekcijos, kurios yra atskaitos sistemos ašyse; Priklausomai nuo vektoriaus skilimo, kuris gali būti dviejų ar trijų dimensijų ašimis, bus gauti du arba trys komponentai, atitinkamai.

Vektoriaus komponentai yra tikrieji skaičiai, kurie gali būti teigiami, neigiami arba netgi nuliniai (0).

Taigi, jei mes turime vektorių Â, kilę iš stačiakampio koordinačių sistemos xy (dvimatėje) plokštumoje, x ašies projekcija yra Āx, o projekcija y ašyje yra Āy. Taigi vektorius bus išreikštas kaip jo komponentų vektorių suma.

Pavyzdžiai

Pirmasis pavyzdys

Turime vektorių Â, kuris prasideda nuo jo galų ir koordinačių. Taigi vektorius  = (Âx; Air) = (4; 5) cm.

Jei vektorius  veikia trimatės trikampio koordinatės sistemoje (erdvėje) x, y, z, į kitą tašką (P), jo ašių projekcijos bus Āx, Āy ir Āz; taigi vektorius bus išreikštas kaip trijų komponentų vektorių suma.

Antrasis pavyzdys

Turime vektorių Â, kuris prasideda nuo jo galų ir koordinačių. Taigi vektorius  = (Ax; Air; Az) = (4; 6; -3) cm.

Vektorius, kurių stačiakampės koordinatės, galima išreikšti jų baziniais vektoriais. Tuo tikslu tik kiekviena koordinatė turi būti padauginta iš atitinkamo vieneto vektoriaus taip, kad plokštumoje ir erdvėje jie būtų tokie:

Lėktuvui: Â = Axi + Airj.

Vietai: Â = Axi + Airj + Azk.

Operacijos su vektoriais

Yra daugybė matmenų, turinčių modulį, jausmą ir kryptį, pavyzdžiui, pagreitis, greitis, poslinkis, jėga..

Jos taikomos įvairiose mokslo srityse ir tam tikrais atvejais būtina atlikti tokius veiksmus kaip vektorių ir skalarų pridėjimas, atėmimas, dauginimas ir dalijimasis.

Vektorių papildymas ir atėmimas

Vektorių pridėjimas ir atėmimas laikomas vienu algebriniu veiksmu, nes atimtis gali būti parašyta kaip suma; pavyzdžiui, vektorių ir Ē atėmimas gali būti išreikštas kaip:

 - Ē = Ā + (-Ē)

Yra įvairių metodų, kaip atlikti vektorių pridėjimą ir atimimą: jie gali būti grafiniai arba analitiniai.

Grafiniai metodai

Naudojamas, kai vektorius turi modulį, jausmą ir kryptį. Norėdami tai padaryti, sudaromos eilutės, kurios sudaro paveikslą, kuris vėliau padeda nustatyti rezultatą. Tarp geriausių žinomų, išsiskiria:

Paralelogramų metodas

Norint papildyti ar atimti du vektorius, koordinačių ašyje yra pasirinktas bendras taškas, kuris atstovaus vektorių kilmės vietą, išlaikydamas jo modulį, kryptį ir kryptį..

Tada linijos sudaromos lygiagrečiai vektoriams, kad sudarytumėte lygiagretę. Gautas vektorius yra įstrižainė, kuri palieka iš abiejų vektorių kilmės taško iki lygiagretės viršūnės:

Trikampio metodas

Šiuo metodu vektoriai yra vienas šalia kito, išlaikant jų modulius, kryptis ir kryptis. Gautas vektorius bus pirmojo vektoriaus sujungimo su antro vektoriaus pabaiga:

Analitiniai metodai

Geometriniu arba vektoriniu metodu galite pridėti arba atimti du ar daugiau vektorių:

Geometrinis metodas

Kai du vektoriai sudaro trikampį arba lygiagretę, gauto vektoriaus modulį ir kryptį galima nustatyti naudojant sinusų ir kosino įstatymus. Taigi gauto vektoriaus modulis, taikantis kosino įstatymą ir trikampio metodą, pateikiamas:

Šioje formulėje β yra kampas priešais R šoną, ir tai lygi 180º - Ɵ.

Priešingai, lygiagretės metodu gautas vektorinis modulis yra:

Gauto vektoriaus kryptį nurodo kampas (α), kuris susidaro su vienu iš vektorių.

Sinuso įstatymu vektorių pridėjimas ar atėmimas taip pat gali būti atliekamas trikampio arba lygiagretės metodu, žinant, kad kiekviename trikampyje kraštai yra proporcingi kampų krūtims:

Vektorinis metodas

Tai galima padaryti dviem būdais: priklausomai nuo jų stačiakampių koordinačių arba jų pagrindo vektorių.

Tai gali būti padaryta perkeliant vektorius, kuriuos reikia pridėti arba atimti iš koordinačių pradžios, o po to visas plokštumos (x, y) arba erdvės (x, y) kiekvienos ašies projekcijas. ir, z); galiausiai, jos komponentai pridedami algebriškai. Taigi, plokštumoje:

Gauto vektoriaus modulis yra:

Nors vietos yra:

Gauto vektoriaus modulis yra:

Vykdant vektorines sumas, taikomos kelios savybės:

- Asociatyvinė savybė: gaunamas nesikeičia pridedant du vektorius, o po to pridedant trečiąjį vektorių.

- Komutacinė savybė: vektorių tvarka nekeičia gauto.

- Vektorinė paskirstymo savybė: jei skalaras yra dauginamas iš dviejų vektorių sumos, jis yra lygus skalaro dauginimui kiekvienam vektoriui.

- Scalar paskirstymo savybė: jei vektorius dauginamas iš dviejų skalarų sumos, jis yra lygus vektoriaus dauginimui kiekvienam skalarui.

Vektorių dauginimas

Vektorių dauginimas ar produktas gali būti atliekamas kaip papildymas arba atimtis, bet tai darydamas praranda fizinę reikšmę ir beveik niekada nerandama taikomosiose programose. Todėl dažniausiai naudojami produktai yra skaliarinis ir vektorinis produktas.

Scalar produktas

Jis taip pat žinomas kaip dviejų vektorių taškų produktas. Kai dviejų vektorių moduliai padauginami iš mažo kampo, kuris suformuotas tarp jų, kosinu, gaunamas skalaras. Jei norite įterpti skaliarinį produktą tarp dviejų vektorių, tarp jų yra taškas, kuris gali būti apibrėžiamas kaip:

Kampo, esančio tarp dviejų vektorių, vertė priklausys nuo to, ar jie yra lygiagrečiai, ar statmenai; Taigi, turite:

- Jei vektoriai yra lygiagretūs ir turi tą pačią prasmę, kosinas 0º = 1.

- Jei vektoriai yra lygiagretūs ir turi priešingus jutimus, kosinas 180º = -1.

- Jei vektoriai yra statmeni, 90 ° = 0.

Šis kampas taip pat gali būti apskaičiuotas, žinant, kad:

Scalar produktas turi šias savybes:

- Komutacinė savybė: vektorių eilė nekeičia skalaro.

-Paskirstymo savybė: jei skalaras yra padaugintas iš dviejų vektorių sumos, jis yra lygus kiekvieno vektoriaus skalaro dauginimui.

Vektorius produktas

Dviejų vektorių A ir B vektoriaus dauginimas arba kryžminis produktas sukurs naują vektorių C ir yra išreikštas naudojant tarp vektorių esantį kryžių:

Naujasis vektorius turės savo savybes. Tokiu būdu:

- Kryptis: šis naujas vektorius bus statmenas plokštumai, kurią nustato pradiniai vektoriai.

- Jausmas: tai lemia dešinės rankos taisyklė, kurioje vektorius A pasukamas link B, nukreipiant sukimosi kryptį pirštais, o nykščiu pažymėtas vektoriaus jausmas.

- Modulis: nustatomas pagal vektorių AxB modulius dauginant iš mažiausio kampo, esančio tarp šių vektorių, sinuso. Jis išreiškiamas:

Kampo, esančio tarp dviejų vektorių, vertė priklausys nuo to, ar jie yra lygiagrečiai, ar statmenai. Tada galima patvirtinti:

- Jei vektoriai yra lygiagretūs ir turi tą pačią prasmę, sin 0º = 0.

- Jei vektoriai yra lygiagretūs ir turi priešingus jutiklius, sinusinis 180º = 0.

- Jei vektoriai yra statmeni, sinusas yra 90º = 1.

Kai vektorinis produktas yra išreikštas baziniais vektoriais, jis turi:

Scalar produktas turi šias savybes:

- Tai nėra komutatyvi: vektorių tvarka keičia skalarą.

- Paskirstymo savybė: jei skalaras yra padaugintas iš dviejų vektorių sumos, jis yra lygus kiekvieno vektoriaus skalaro dauginimui.

Nuorodos

  1. Altmanas Naomi, M. K. (2015). „Paprasta linijinė regresija“. Gamtos metodai .
  2. Angel, A. R. (2007). Pradinė algebra „Pearson Education“,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). „Algebr“ į „Vectorial“ pavyzdžiuose. Maskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Linijinė algebra ir jos taikymas. „Pearson Education“.
  6. Llinares, J. F. (2009). Linijinė algebra: vektoriaus erdvė. Euklido vektorinė erdvė. Alikantės universitetas.
  7. Mora, J. F. (2014). Tiesinė algebra Tėvynės.