Matematinė logika, kokie tyrimai, tipai



The matematinė logika arba simbolinė logika - tai matematinė kalba, apimanti būtinas priemones, kuriomis galima patvirtinti arba atmesti matematinį motyvavimą.

Gerai žinoma, kad matematikos srityje nėra dviprasmybių. Matematinis argumentas yra pagrįstas arba tiesiog nėra. Tuo pačiu metu jis negali būti klaidingas ir teisingas.

Ypatingas matematikos aspektas yra tai, kad ji turi oficialią ir griežtą kalbą, kuria remiantis galima nustatyti pagrįstumo pagrįstumą. Koks yra tam tikras argumentavimas ar matematinis įrodymas, kuris yra neginčijamas? Būtent tai yra matematinė logika.

Taigi, logika yra matematikos disciplina, kuri yra atsakinga už matematinių samprotavimų ir demonstracijų tyrimą, ir suteikia priemones, leidžiančias daryti išvadą dėl teisingos išvados iš ankstesnių pareiškimų ar pasiūlymų..

Tam reikia naudoti aksiomas ir kitus matematinius aspektus, kurie bus sukurti vėliau.

Indeksas

  • 1 Kilmė ir istorija
    • 1.1 Aristotelis
  • 2 Kokios matematinės logikos studijos?
    • 2.1 Pasiūlymai
    • 2.2 Tiesos lentelės
  • 3 Matematinės logikos tipai
    • 3.1 Sritys
  • 4 Nuorodos

Kilmė ir istorija

Tikslios matematinės logikos aspektų datos yra neaiškios. Tačiau dauguma bibliografijų apie šią temą atsispindi senovės Graikijoje.

Aristotelis

Griežtos logikos gydymo pradžia yra iš dalies priskirta Aristoteliui, kuris parašė logikos kūrinių rinkinį, kurį vėliau iki viduramžių surinko ir sukūrė įvairūs filosofai ir mokslininkai. Tai gali būti laikoma „senąja logika“.

Tada, žinoma kaip šiuolaikinis amžius, Leibnizas, judantis giliu noru sukurti universalią kalbą matematiškai, ir kiti matematikai, pvz., Gottlobas Frege ir Giuseppe Peano, ypač paveikė matematinės logikos kūrimą su dideliais įnašais tarp jų - „Peano“ aksiomos, kurios suformuluoja būtinas natūralių skaičių savybes.

Matematikai George Boole ir Georg Cantor taip pat turėjo didelę įtaką šiuo metu. Jie labai prisidėjo prie teorijos ir tiesos lentelių, be kitų aspektų, pabrėždami Būlio Algebra (George Boole) ir pasirinkimo aksiomą (George Cantor).

Taip pat yra Augustas De Morganas su gerai žinomais Morgano įstatymais, kurie numato atsisakymus, ryšius, disjunkcijas ir sąlygą tarp pasiūlymų, raktų, skirtų simbolinės logikos kūrimui, ir Johną Venną su garsiomis Venn diagramomis.

XX a., Maždaug nuo 1910 m. Iki 1913 m., Bertrand Russell ir Alfred North Whitehead išsiskiria savo leidiniu Principia mathematica, knygų rinkinys, kuris renka, vysto ir postuluoja eilę aksiomų ir loginių rezultatų.

Kokios matematinės logikos studijos?

Pasiūlymai

Matematinė logika prasideda nuo pasiūlymų analizės. Pasiūlymas yra patvirtinimas, kad be jokio dviprasmiškumo galima pasakyti, ar tai tiesa. Toliau pateikiami pavyzdžiai:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • 1930 m. Europoje įvyko žemės drebėjimas.

Pirmasis yra tikras pasiūlymas, o antrasis - klaidingas pasiūlymas. Trečias, nors ir įmanoma, kad asmuo, kuris jį skaito, nežino, ar tai tiesa ar iš karto, tai yra pareiškimas, kurį galima patikrinti ir nustatyti, ar jis tikrai įvyko, ar ne.

Toliau pateikiami išraiškų, kurie nėra pasiūlymai, pavyzdžiai:

  • Ji yra blondinė.
  • 2x = 6.
  • Leiskite žaisti!
  • Ar jums patinka kinas?

Pirmajame pasiūlyme nenurodyta, kas „ji“ yra, todėl nieko negalima patvirtinti. Antrajame pasiūlyme nenurodyta, kas yra „x“. Jei vietoj to buvo pasakyta, kad kai kuris natūralus skaičius x yra 2x = 6, šiuo atveju jis atitiktų pasiūlymą, iš tikrųjų tiesa, nes x = 3 jis įvykdytas.

Paskutiniai du teiginiai neatitinka pasiūlymo, nes nėra galimybės juos paneigti ar patvirtinti.

Du ar daugiau pasiūlymų gali būti derinami (arba prijungti), naudojant žinomas jungiamojo jungtis (arba jungtis). Tai yra:

  • Neteisinimas: „Tai ne lietus“.
  • Disjunkcija: "Luisa nusipirko baltą arba pilką maišelį".
  • Sąsaja: "42= 16 ir 2 × 5 = 10 ".
  • Sąlyga: "Jei lietus, tada po pietų nesiruošiu į sporto salę".
  • Biconditional: „Šią popietę einu į treniruoklių salę ir tik tuo atveju, jei jis nevirsta“.

Pasiūlymas, kuris neturi jokio ankstesnio jungiamojo, vadinamas paprastu pasiūlymu (arba atominiu). Pavyzdžiui, „2 yra mažesnis nei 4“, tai paprastas pasiūlymas. Pasiūlymai, turintys tam tikrą jungiamąjį ryšį, vadinami sudėtiniais pasiūlymais, pavyzdžiui, „1 + 3 = 4 ir 4 yra lygus skaičius“.

Pareiškimuose pateikti teiginiai paprastai būna ilgi, todėl juos visuomet sunku rašyti, kaip matėme iki šiol. Dėl šios priežasties naudojama simbolinė kalba. Paraiškos paprastai pateikiamos didžiosiomis raidėmis, pvz P, Q, R, S, ir tt Ir simbolinė jungtis tokia:

Taigi

The abipusė sąlyginio pasiūlymo

yra pasiūlymas

Ir priešprieša (arba prieštarauja) pasiūlymo

yra pasiūlymas

Tiesos lentelės

Kita svarbi logikos samprata yra tiesos lentelės. Pasiūlymo tiesos reikšmės yra dvi galimybės, kurios yra prieinamos pasiūlymui: tiesa (kuri bus pažymėta V ir jo tiesos reikšmė bus V) arba klaidinga (kuri bus pažymėta F ir jos vertė bus nurodyta) tai iš tikrųjų yra F).

Sudėtinės kompozicijos tiesos vertė priklauso tik nuo jame esančių paprastų pasiūlymų tiesos vertybių.

Kad dirbtume plačiau, nesvarstysime konkrečių pasiūlymų, bet siūlomų kintamųjų p, q, r, s, ir tt, kurie atspindės visus pasiūlymus.

Naudojant šiuos kintamuosius ir loginius jungiklius, gerai žinomos formulės formuluojamos taip, kaip sudaromos junginių formuluotės.

Jei kiekvienas kintamasis, rodomas pasiūlymo formulėje, pakeičiamas pasiūlymu, gaunamas sudėtinis pasiūlymas.

Toliau pateikiamos loginių jungčių tiesos lentelės:

Yra siūlymų formulės, kurios gauna tik V vertę savo tiesos lentelėje, ty paskutinė jų tiesos lentelės skiltis turi tik vertę V. Ši formulė yra vadinama tautologija. Pavyzdžiui:

Toliau pateikiamas formulės tiesos lentelė

Sakoma, kad formulė α logiškai reiškia kitą formulę β, jei α yra tiesa, kiekvieną kartą β yra tiesa. Tai reiškia, kad α ir β tiesos lentelėse eilutėse, kuriose α turi V, β, taip pat yra V. Tik eilutės, kuriose α turi reikšmę V, yra svarbios. :

Toliau pateiktoje lentelėje apibendrinamos loginės reikšmės savybės:

Sakoma, kad dvi formuluotės yra logiškai lygiavertės, jei jų tiesos lentelės yra identiškos. Loginis lygiavertiškumas išreiškiamas taip:

Toliau pateikiamose lentelėse apibendrintos loginio lygiavertiškumo savybės:

Matematinės logikos tipai

Yra įvairių rūšių logika, ypač jei atsižvelgiama į pragmatišką ar neoficialią logiką, kuri nurodo filosofiją, be kitų sričių.

Kalbant apie matematiką, logikos tipai gali būti apibendrinti taip:

  • Oficiali arba aristotelio logika (senoji logika).
  • Propozicinė logika: yra atsakinga už visų dalykų, susijusių su argumentų ir pasiūlymų, naudojančių formalią kalbą ir simbolinę, tyrimą..
  • Simbolinė logika: sutelktas į rinkinių ir jų savybių tyrimą, taip pat su oficialiąja ir simboline kalba, ir yra glaudžiai susijęs su siūloma logika.
  • Kombinatorinė logika: vienas iš naujausių kūrinių apima rezultatus, kuriuos galima sukurti algoritmais.
  • Loginis programavimas: naudojamas įvairiuose paketuose ir programavimo kalbose.

Sritys

Tarp sričių, kurios naudoja matematinę logiką nepakeičiamu būdu, rengdamos savo argumentus ir argumentus, jos pabrėžia filosofiją, rinkinių teoriją, skaičių teoriją, konstruktyvią algebrinę matematiką ir programavimo kalbas..

Nuorodos

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, rinkiniai ir numeriai. Mérida - Venesuela: Leidinių taryba, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., ir Soto, A. (1998). Įvadas į skaičiaus teoriją. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Pagrindinis teorijos numeris. Šiaurės universitetas.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kaip sukurti matematinį loginį pagrindimą. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C.. Skaičių teorija. Redakcinės vizijos knygos.