Sintetinio skyriaus metodas ir išspręstos pratybos

The sintetinis skaidymas tai yra paprastas būdas dalyti polinomą P (x) bet kuria forma d (x) = x - c. Tai labai naudinga priemonė, nes, be to, leidžia mums padalinti polinomus, taip pat leidžiame įvertinti polinomą P (x) bet kuriame c skaičiuje, kuris savo ruožtu mums tiksliai nurodo, ar šis skaičius yra nulinis, ar ne..

Padalijimo algoritmo dėka žinome, kad jei turime du polinomus P (x) ir d (x) nėra pastovus, yra polinomų q (x) ir r (x) unikalus, kad būtų tiesa, kad P (x) = q (x) d (x) + r (x), kur r (x) yra nulis arba yra mažesnis nei q (x). Šie polinomai yra žinomi kaip koeficientai ir likučiai arba poilsis.

Kartais, kai polinomas d (x) yra x-c formos, sintetinis padalijimas suteikia mums trumpą būdą rasti q (x) ir r (x)..

Indeksas

• 1 Sintetinio skaidymo metodas
• 2 Išspręstos pratybos
  • 2.1 1 pavyzdys
  • 2.2 2 pavyzdys
  • 2.3 3 pavyzdys
  • 2.4 4 pavyzdys
• 3 Nuorodos

Sintetinis skaidymo metodas

Leiskite P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polinomas, kurį norime padalyti, ir d (x) = x-c daliklis. Norėdami suskirstyti pagal sintetinio padalijimo metodą, mes elgiamės taip:

1- Pirmoje eilutėje rašome P (x) koeficientus. Jei bet kokia X galia nepasirodys, nulį nurodome kaip koeficientą.

2- Antroje eilutėje, kairėje nuo a_n įdėkite c ir piešimo padalijimo linijas, kaip parodyta šiame paveikslėlyje:

3 - Mes sumažiname pagrindinį koeficientą iki trečios eilės.

Šioje frazėje b_n-1= a_n

4- Mes dauginame c pagal pagrindinį koeficientą b_n-1 ir rezultatas parašytas antroje eilutėje, bet dešinėje pusėje.

5- Pridedame stulpelį, kuriame parašėme ankstesnį rezultatą, ir rezultatą, kurį mes įdėjome pagal šią sumą; tai yra, toje pačioje skiltyje, trečioje eilutėje.

Pridėjus, mes turime_n-1+c * b_n-1, kuris patogumui vadinsime b_n-2

6- Mes dauginame c pagal ankstesnį rezultatą ir antrajame eilutėje parašome rezultatą į dešinę.

7 - Kartojame 5 ir 6 žingsnius, kol pasiekiame koeficientą a₀.

8- Rašykite atsakymą; tai yra koeficientas ir liekana. Kadangi mes atliekame n laipsnio polinomo padalijimą tarp 1 laipsnio polinomo, mes turime, kad rimtas n-1 laipsnio koeficientas.

Bendrojo koeficiento polinomo koeficientai bus trečiojo eilutės, išskyrus paskutinį, skaičių, kuris bus likęs polinomas ar likutis dalijime.

Išspręstos pratybos

1 pavyzdys

Atlikite šį padalijimą sintetinio padalijimo metodu:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Sprendimas

Pirmiausia, dividendų koeficientus rašome taip:

Tada kairėje pusėje, antroje eilutėje ir padalijimo linijomis rašome c. Šiame pavyzdyje c = -1.

Mes sumažiname pagrindinį koeficientą (šiuo atveju b_n-1 = 1) ir padauginkite iš -1:

Rašome rezultatą antroje eilutėje dešinėje, kaip parodyta žemiau:

Pridedame numerius antrame stulpelyje:

Mes padauginame 2 iki -1 ir parašome rezultatą į trečiąjį stulpelį, antrą eilutę:

Į trečiąjį stulpelį įtraukiame:

Toliau einame tol, kol pasieksime paskutinį stulpelį:

Taigi, mes turime, kad paskutinis gautas skaičius yra likusi dalijimosi dalis, o likę skaičiai yra koeficiento polinomo koeficientai. Tai parašyta taip:

Jei norime patikrinti, ar rezultatas yra teisingas, pakanka patikrinti, ar įvykdyta ši lygtis:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Taigi galime patikrinti, ar gautas rezultatas yra teisingas.

2 pavyzdys

Atlikite kitą polinomų padalijimą sintetinio skaidymo metodu

(7x³-x + 2): (x + 2)

Sprendimas

Šiuo atveju mes turime terminą x² jis nerodomas, todėl mes jo koeficientą užrašysime 0. Taigi, polinomas būtų kaip 7x³+0x²-x + 2.

Rašome jų koeficientus iš eilės, tai yra:

Antroje eilutėje kairėje pusėje užrašome C = -2 vertę ir nupiešiame padalijimo linijas.

Mes sumažiname pagrindinį koeficientą b_n-1 = 7 ir mes padauginame ją -2, rašydami rezultatą antroje eilėje dešinėje.

Pridedame ir tęsiame, kaip paaiškinta anksčiau, kol pasiekiame paskutinį terminą

Šiuo atveju likusi dalis yra r (x) = - 52 ir gautas koeficientas yra q (x) = 7x²-14x + 27.

3 pavyzdys

Kitas būdas naudoti sintetinį padalijimą yra toks: tarkime, kad mes turime laipsnio n polinomą P (x) ir norime žinoti, kas yra reikšmė vertinant ją x = c.

Pagal padalijimo algoritmą mes galime rašyti polinomą P (x) tokiu būdu:

Šioje frazėje q (x) ir r (x) yra atitinkamai koeficientas ir kiti. Dabar, jei d (x) = x- c, vertinant c polinome, randame:

Tam mums reikia rasti tik r (x), ir tai mes galime padaryti dėl sintetinio padalijimo.

Pavyzdžiui, turime polinomą P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 ir mes norime žinoti, kokia yra jo vertė vertinant ją x = 5. Tam mes atliekame padalijimą tarp P (x) ir d (x) = x -5 sintetinio skaidymo metodu:

Atlikus operacijas, žinome, kad galime rašyti P (x) tokiu būdu:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Todėl vertindami ją turime:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kaip matome, galima įvertinti sintetinį padalijimą polinomo reikšmės nustatymui, vertinant jį c, o ne tiesiog pakeičiant c su x. 

Jei bandėme įvertinti P (5) tradiciniu būdu, mums reikės atlikti kai kuriuos skaičiavimus, kurie linkę tapti nuobodu.

4 pavyzdys

Polinomų padalijimo algoritmas taip pat yra įvykdytas polinomams su sudėtingais koeficientais ir todėl turime, kad sintetinio padalijimo metodas taip pat veikia minėtiems polinomams. Toliau matysime pavyzdį.

Mes panaudosime sintetinio padalijimo metodą, kad parodytume, kad z = 1+ 2i yra polinomo P (x) = x nulis.³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); tai reiškia, kad likusios dalelės P (x) tarp d (x) = x - z yra lygios nuliui.

Mes einame taip, kaip anksčiau: pirmojoje eilutėje rašome P (x) koeficientus, tada antrajame rašome z ir piešiame skirstymo linijas.

Mes padarėme padalijimą kaip ir anksčiau; tai yra:

Matome, kad likutis yra nulis; todėl darome išvadą, kad z = 1+ 2i yra P (x) nulis.

Nuorodos

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria redakcinė grupė.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: grafikas, skaitinė, algebrinė 7-asis leidimas Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. Prentice salė
4. Michael Sullivan. Precalculus 4-asis Ed. „Pearson Education“.
5. Raudona Armando O. Algebra 1 6-asis Ed. „Athenaeum“.