Atskirų tikimybių charakteristikų ir pratimų pasiskirstymas



The Diskretūs tikimybių pasiskirstymai yra funkcija, priskirianti kiekvieną X (S) = x1, x2, ..., xi, ... elementą, kur X yra tam tikras diskretiškas atsitiktinis kintamasis ir S yra jo atrankos erdvė, tikimybė, kad minėtas įvykis įvyksta. Ši X (S) funkcija f, apibrėžta kaip f (xi) = P (X = xi), kartais vadinama tikimybės masės funkcija.

Ši tikimybių masė paprastai pateikiama kaip lentelė. Kadangi X yra diskretiškas atsitiktinis kintamasis, X (S) turi ribotą įvykių skaičių arba skaičiuojamą begalybę. Tarp labiausiai paplitusių diskrečiųjų tikimybių pasiskirstymų turime vienodą pasiskirstymą, binominį pasiskirstymą ir „Poisson“ pasiskirstymą.

Indeksas

  • 1 Charakteristikos
  • 2 tipai
    • 2.1 Vienodas pasiskirstymas per n taškus
    • 2.2 Binominis pasiskirstymas
    • 2.3 Puasono pasiskirstymas
    • 2.4 Hipergeometrinis pasiskirstymas
  • 3 Išspręstos pratybos
    • 3.1 Pirmasis pratimas
    • 3.2 Antrasis pratimas
    • 3.3 Trečiasis pratimas
    • 3.4 Trečiasis pratimas
  • 4 Nuorodos

Savybės

Tikimybių pasiskirstymo funkcija turi atitikti šias sąlygas:

Be to, jei X užima tik ribotą reikšmių skaičių (pavyzdžiui, x1, x2, ..., xn), tada p (xi) = 0, jei i> ny, todėl begalinė sąlygų b serija tampa baigtinė serija.

Ši funkcija taip pat atitinka šias savybes:

B yra įvykis, susijęs su atsitiktiniu kintamuoju X. Tai reiškia, kad B yra X (S). Tiksliau, tarkime, kad B = xi1, xi2, .... Todėl:

Kitaip tariant, įvykio B tikimybė yra lygi atskirų rezultatų, susijusių su B, tikimybių sumai.

Iš to galime daryti išvadą, kad jei a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Tipai

Vienodas paskirstymas per n taškus

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X seka pasiskirstymą, kuriam būdingas vienodas n taškuose, jei kiekvienai vertei priskiriama tokia pati tikimybė. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Tarkime, kad turime eksperimentą, turintį du galimus rezultatus, tai gali būti moneta, kurios galimi rezultatai yra veidas arba spaudas, supimas arba viso numerio, kurio rezultatas gali būti lygus skaičius arba nelyginis skaičius, pasirinkimas; šis eksperimento tipas yra žinomas kaip Bernoulli testai.

Apskritai, du galimi rezultatai yra vadinami sėkme ir nesėkme, kur p yra sėkmės tikimybė ir 1-p nesėkmės tikimybė. Mes galime nustatyti x sėkmės tikimybę n Bernoulli testuose, kurie yra nepriklausomi vienas nuo kito ir su šiuo paskirstymu.

Binominis pasiskirstymas

Būtent ši funkcija reiškia tikimybę gauti x sėkmę n nepriklausomuose Bernoulli testuose, kurių sėkmės tikimybė yra p. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Toliau pateiktoje diagramoje pavaizduota tikimybės funkcijų masė skirtingoms binominio pasiskirstymo parametrų vertėms.

Toliau pateikiamas pasiskirstymas yra priskirtas Prancūzijos matematikai Simeonui Poissonui (1781-1840), kuris jį gavo kaip binominio pasiskirstymo ribą..

Puasono pasiskirstymas

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X turi parametro λ Poisson pasiskirstymą, kai jis gali imtis teigiamų sveikojo skaičiaus reikšmių 0,1,2,3, ... su tokia tikimybe:

Šioje formulėje λ yra vidutinis skaičius, atitinkantis įvykio įvykius kiekvienam laiko vienetui, o x - tai įvykių skaičius, kada įvyko.

Jo tikimybės masės funkcija yra:

Toliau grafikas, vaizduojantis tikimybės masės funkciją skirtingoms Poisson paskirstymo parametrų reikšmėms.

Atkreipkite dėmesį, kad tol, kol sėkmių skaičius yra mažas ir binominio pasiskirstymo testų skaičius yra didelis, mes visada galime priartinti šiuos paskirstymus, nes „Poisson“ pasiskirstymas yra binominio pasiskirstymo riba..

Pagrindinis skirtumas tarp šių dviejų paskirstymų yra tas, kad binominis priklauso nuo dviejų parametrų - n ir p -, Poisson'as priklauso tik nuo λ, kuris kartais vadinamas paskirstymo intensyvumu.

Iki šiol kalbėjome tik apie tikimybių pasiskirstymą tais atvejais, kai skirtingi eksperimentai yra nepriklausomi vienas nuo kito; tai yra, kai vieno rezultato neturi jokio kito rezultato.

Kai eksperimentų, kurie nėra nepriklausomi, atvejis yra labai naudingas, yra labai naudinga.

Hipergeometrinis pasiskirstymas

Leiskite N - baigtinių rinkinių, kurių mes galime atpažinti k, tam tikru būdu, bendras skaičius, sudarant poaibį K, kurio komplementą sudaro likusieji N-k elementai.

Jei atsitiktinai pasirenkame n objektus, atsitiktinis kintamasis X, rodantis K objektų skaičių, kad rinkimuose yra hipergeometrinis parametrų N, n ir k paskirstymas. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Toliau pateiktoje diagramoje pavaizduota tikimybės funkcijų masė skirtingoms hipergeometrinio pasiskirstymo parametrų reikšmėms.

Išspręstos pratybos

Pirmasis pratimas

Tarkime, kad tikimybė, kad radijo vamzdelis (įdėtas į tam tikrą įrangą) veikia ilgiau nei 500 valandų, yra 0,2. Jei bandoma 20 mėgintuvėlių, kokia yra tikimybė, kad tiksliai k iš jų veiks daugiau nei 500 valandų, k = 0, 1,2, ..., 20?

Sprendimas

Jei X yra daugiau nei 500 valandų veikiančių vamzdžių skaičius, manome, kad X turi binominį pasiskirstymą. Tada

Ir taip:

K≥11 atveju tikimybės yra mažesnės nei 0,001

Taigi mes galime pamatyti, kaip tikimybė, kad šie k veiks daugiau nei 500 valandų, pakyla, kol pasiekia maksimalią vertę (su k = 4) ir tada pradeda mažėti.

Antrasis pratimas

Moneta išmesta 6 kartus. Kai rezultatas yra brangus, mes sakysime, kad tai sėkminga. Kokia tikimybė, kad du veidai išeis tiksliai?

Sprendimas

Šiuo atveju mes turime, kad n = 6 ir tiek sėkmės, tiek nesėkmės tikimybė yra p = q = 1/2

Todėl dviejų veidų tikimybė (ty k = 2) yra

Trečiasis pratimas

Kokia tikimybė rasti bent keturis veidus?

Sprendimas

Šiuo atveju turime, kad k = 4, 5 arba 6

Trečiasis pratimas

Tarkime, kad 2% gamykloje gaminamų gaminių yra sugedę. Raskite tikimybę P, kad 100 elementų mėginyje yra trys trūkumai.

Sprendimas

Šiuo atveju galėtume taikyti binominį pasiskirstymą n = 100 ir p = 0,02, taip gaunant:

Tačiau kadangi p yra mažas, mes naudojame „Poisson“ derinimą su λ = np = 2. Taigi,

Nuorodos

  1. Kai Lai Chung Elementarumo teorijos su stochastiniais procesais. „Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. „Rosen“ diskretinė matematika ir jos taikymas. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Tikimybė ir statistinės programos. S.A. MEKSIKAS ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 m. Diskrečios matematikos problemos. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Tikimybės teorija ir problemos. McGRAW-HILL.