Bayes teoremo paaiškinimas, programos, pratimai



The „Bayes“ teorema yra procedūra, leidžianti mums išreikšti atsitiktinio įvykio A, B, sąlyginę tikimybę, atsižvelgiant į įvykio B tikimybės pasiskirstymą A ir tik A tikimybės pasiskirstymą..

Ši teorema yra labai naudinga, nes jos dėka galime susieti tikimybę, kad įvykis A, žinant, kad B įvyko, su tikimybe, kad atsiras priešingas įvykis, ty kad B įvyktų.

„Bayes“ teorema buvo auksinis pasiūlymas, kurį atliko aštuonioliktojo amžiaus anglų teologas, kuris taip pat buvo matematikas. Jis buvo kelių teologijos darbų autorius, tačiau šiuo metu jis žinomas dėl kelių matematinių traktatų, tarp kurių pagrindinis rezultatas yra minėtas Bayes teorema..

Bajeso nagrinėjo šį teorema popieriaus pavadinimu "esė link sprendžiant problemą šansai doktrinos" (bandomoji išspręsti problemą dėl galimybės doktriną), kuris buvo paskelbtas 1763, ir kurių jie sukūrė didelio Tyrimai su paraiškomis įvairiose žinių srityse.

Indeksas

  • 1 Paaiškinimas
  • 2 „Bayes“ teorijos taikymas
    • 2.1 Išspręstos pratybos
  • 3 Nuorodos

Paaiškinimas

Pirma, norint geriau suprasti šią teoriją, reikalingos kai kurios pagrindinės tikimybės teorijos sąvokos, ypač dauginamoji teorija, skirta sąlyginei tikimybei, kurioje teigiama, kad

E ir A savavališki pavyzdžio erdvės S įvykiai.

Ir pertvarų apibrėžimas, kuris mums sako, kad jei turime A1 ,A2,..., An pavyzdžio erdvės S įvykiai, jie sudarys S skaidinį, jei jis bus Ai jie yra tarpusavyje nesuderinami ir jų sąjunga yra S.

Tai padarius, B turi būti kitas įvykis. Tada galime pamatyti B kaip

Kur Ai susikirtę su B, yra tarpusavyje nesuderinami įvykiai.

Ir todėl,

Tada, taikant daugybos teoriją

Kita vertus, sąlyginė Ai tikimybė, pateikta B, yra apibrėžta

Tinkamai mes turime pakeisti bet kurį i

„Bayes“ teoremos taikymas

Dėl to mokslinių tyrimų grupės ir įvairios korporacijos sugebėjo tobulinti žiniomis pagrįstas sistemas.

Pavyzdžiui, ligų tyrimo, Bajeso teorema gali padėti įžvelgti tikimybę, kad liga rastos žmonių su tam tikra charakteristika grupės, atsižvelgiant, kaip duomenų perdavimo sparta bendrą ligos ir paplitimą tokių funkcijų, žmonių sveiką ir sergančią.

Kita vertus, aukštų technologijų pasaulyje ji turėjo įtakos didelėms bendrovėms, kurios dėl šio rezultato sukūrė programinę įrangą „Remiantis žiniomis“..

Kaip kasdienį pavyzdį turime „Microsoft Office“ padėjėją. „Bayes“ teorema padeda programinei įrangai įvertinti problemas, kurias vartotojas pristato ir nustato, kokių patarimų teikti, ir taip pasiūlyti geresnę paslaugą pagal naudotojo įpročius.

Pažymėtina, kad ši formulė buvo ignoruojama iki šiol, daugiausia dėl to, kad šis rezultatas buvo sukurtas prieš 200 metų. Tačiau mūsų laikais dėka didžiųjų technologijų pažangos mokslininkai pasiekė būdų, kaip pasiekti šį rezultatą.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Korinio ryšio įmonė turi dvi A ir B mašinas. 54% pagamintų mobiliųjų telefonų gaminami A mašina, o likusieji - mašina B. Ne visi pagaminti mobilieji telefonai yra geros būklės.

„A“ defektinių mobiliųjų telefonų dalis yra 0,2 ir B yra 0,5. Kokia tikimybė, kad minėtos gamyklos mobilusis telefonas yra sugedęs? Kokia yra tikimybė, kad, žinant, kad mobilusis telefonas yra sugedęs, jis ateina iš mašinos A?

Sprendimas

Čia jūs turite eksperimentą, kuris atliekamas dviem dalimis; pirmoje dalyje įvykiai įvyksta:

A: mobilusis telefonas, pagamintas A įrenginiu.

B: mobilusis telefonas, pagamintas B aparatu.

Kadangi mašina A gamina 54% mobiliųjų telefonų, o likusią dalį gamina mašina B, mašina B gamina 46% mobiliųjų telefonų. Pateikiami šių įvykių tikimybės:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Antrosios eksperimento dalies įvykiai yra:

D: pažeista ląstelė.

E: ne defektinis elementas.

Kaip teigiama pareiškime, šių įvykių tikimybės priklauso nuo pirmoje dalyje gauto rezultato:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Naudodamiesi šiomis reikšmėmis taip pat galite nustatyti šių įvykių papildymo tikimybes, ty:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

ir

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Dabar įvykis D gali būti parašytas taip:

Naudojant dauginamąją teoriją sąlyginei tikimybei:

Su kuriuo atsakoma į pirmąjį klausimą.

Dabar mums reikia apskaičiuoti P (A | D), kuriam taikomas Bayes teorema:

„Bayes“ teorijos dėka galima teigti, kad tikimybė, kad mobilusis telefonas bus pagamintas A mašinoje, žinant, kad mobilusis telefonas yra sugedęs, yra 0,319.

2 pratimas

Trys dėžutės yra baltos ir juodos spalvos. Kiekvienos jų sudėtis yra tokia: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Vienas iš dėžių yra pasirenkamas atsitiktinai ir iš jo išgaunamas atsitiktinis kamuolys, kuris pasirodo baltas. Kuris yra labiausiai tikėtinas langelis?

Sprendimas

Per U1, U2 ir U3 taip pat atstovausime pasirinktą langelį.

Šie įvykiai sudaro S skaidinį ir patikrinama, kad P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, nes langelio pasirinkimas yra atsitiktinis.

Jei B = išgautas kamuolys yra baltas, turėsime P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Ką mes norime gauti yra tikimybė, kad kamuolys buvo pašalintas iš Ui laukelį žinant, kad kamuolys buvo balta, ty P (UI | B), ir pamatyti, kuris iš trijų verčių buvo didžiausias išgirsti, ką dėžutė greičiausiai buvo baltojo rutulio gavyba.

„Bayes“ teoremos taikymas pirmajam langeliui:

Ir kitiems dviem:

P (U2 | B) = 2/6 ir P (U3 | B) = 1/6.

Tada pirmasis langelis yra tas, kuris turi didesnę tikimybę, kad bus pasirinktas baltam rutuliui išgauti.

Nuorodos

  1. Kai Lai Chung Elementarumo teorijos su stochastiniais procesais. „Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. „Rosen“ diskretinė matematika ir jos taikymas. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Tikimybė ir statistinės programos. S.A. MEKSIKAS ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 m. Diskrečios matematikos problemos. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Tikimybės teorija ir problemos. McGRAW-HILL.