Produkto kryžminės savybės, programos ir išspręstos pratybos

The Kryžminis produktas arba produkto vektorius Tai būdas dauginti du ar daugiau vektorių. Yra trys būdai, kaip dauginti vektorius, tačiau nė vienas iš jų nėra dauginimas įprastu žodžio prasme. Viena iš šių formų yra žinoma kaip vektorinis produktas, dėl kurio atsiranda trečiasis vektorius.

Vektorinis produktas, kuris taip pat vadinamas kryžminiu produktu arba išoriniu produktu, turi skirtingas algebrines ir geometrines savybes. Šios savybės yra labai naudingos, ypač fizikos studijose.

Indeksas

• 1 Apibrėžimas
• 2 Ypatybės
  • 2.1 Turtas 1
  • 2.2 Turtas 2
  • 2.3 Turtas 3
  • 2.4 Turtas 4 (trigubas skalaras)
  • 2.5 Turtas 5 (trigubas vektorinis produktas)
  • 2.6 Turtas 6
  • 2.7 Turtas 7
  • 2.8 Turtas 8
• 3 Programos
  • 3.1. Lygiagrečiojo srauto apimties skaičiavimas
• 4 Išspręstos pratybos
  • 4.1 1 užduotis
  • 4.2 2 pratimas
• 5 Nuorodos

Apibrėžimas

Oficialus vektoriaus produkto apibrėžimas yra toks: jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3) yra vektoriai, tada A ir B vektorinis produktas, kurį mes žymime kaip AxB, yra:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Dėl žymėjimo „AxB“ jis reiškia „A kryžius B“.

Pavyzdys, kaip naudoti išorinį produktą, yra tai, kad jei A = (1, 2, 3) ir B = (3, -2, 4) yra vektoriai, tada naudojant vektorinio produkto apibrėžimą turime:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Kitas būdas vektoriniam produktui išreikšti yra nustatomas pagal determinantų žymėjimą.

Antrosios eilės nustatymo apskaičiavimą pateikia:

Todėl vektoriaus produkto formulė, pateikta apibrėžime, gali būti perrašyta taip:

Tai paprastai supaprastinama trečiąja tvarka nustatančiu būdu:

Kur i, j, k reiškia vektorius, kurie sudaro R pagrindą³.

Naudojant šį kryžminio produkto išraišką, turime, kad ankstesnis pavyzdys gali būti perrašytas kaip:

Savybės

Kai kurios savybės, kurias turi vektorinis produktas, yra šios:

Turtas 1

Jei A yra bet koks R vektorius³, Turime:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Šias savybes lengva patikrinti naudojant tik apibrėžimą. Jei A = (a1, a2, a3), turime:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jei i, j, k yra R vieneto pagrindas³, Mes galime juos parašyti taip:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Tada turime įvykdyti šias savybes:

Kaip atminties taisyklė, norint prisiminti šias savybes, paprastai naudojamas šis ratas:

Turėtume atkreipti dėmesį į tai, kad bet kuris vektorius su savimi sukelia vektorių 0, o likusieji produktai gali būti gauti pagal šią taisyklę:

Dviejų iš eilės einančių vektorių kryžminis produktas pagal laikrodžio rodyklę suteikia tokį vektorių; ir, atsižvelgiant į prieš laikrodžio rodyklę, rezultatas yra šis vektorius su neigiamu ženklu.

Dėl šių savybių matome, kad vektoriaus produktas nėra komutacinis; pavyzdžiui, pakanka pastebėti, kad i x j ≠ j x i. Toliau nurodyta savybė pasakoja, kaip „AxB“ ir „BxA“ yra susiję apskritai.

Turtas 2

Jei A ir B yra R vektoriai³, Turime:

AxB = - (BxA).

Demonstravimas

Jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3), pagal išorinio produkto apibrėžimą turime:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Taip pat galime pastebėti, kad šis produktas nėra susijęs su šiuo pavyzdžiu:

ix (ixj) = ixk = - j, bet (ixi) xj = 0xj = 0

Iš to galime pastebėti, kad:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Turtas 3

Jei A, B, C yra R vektoriai³ ir r yra tikrasis skaičius, teisinga:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = ašis (rB)

Šių savybių dėka galime apskaičiuoti vektoriaus produktą, naudojant algebros įstatymus, su sąlyga, kad laikomasi užsakymo. Pavyzdžiui:

Jei A = (1, 2, 3) ir B = (3, -2, 4), mes galime juos perrašyti remiantis kanoniniu R pagrindu³.

Taigi A = i + 2j + 3k ir B = 3i - 2j + 4k. Tada, taikydami ankstesnes savybes:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

4 nuosavybė (trigubas skalaras)

Kaip minėjome pradžioje, yra ir kitų būdų dauginti vektorius be vektoriaus produkto. Vienas iš šių būdų yra skaliarinis produktas arba vidinis produktas, kuris žymimas A ∙ B ir kurio apibrėžimas yra:

Jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3), tada A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Savybė, susijusi su abiem produktais, yra žinoma kaip trigubas skalaras.

Jei A, B ir C yra R vektoriai³, tada A ∙ BxC = AxB ∙ C

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kad, atsižvelgiant į A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ir C = (- 5, 1, - 4), ši nuosavybė yra įvykdyta.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Kita vertus:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Kitas trigubas produktas yra Ax (BxC), kuris yra žinomas kaip trigubas vektorinis produktas.

Turtas 5 (trigubas vektorinis produktas)

Jei A, B ir C yra R vektoriai³,  tada:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kad, atsižvelgiant į A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ir C = (- 5, 1, - 4), ši nuosavybė yra įvykdyta.

Iš ankstesnio pavyzdžio žinome, kad BxC = (- 18, - 22, 17). Apskaičiuokite Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Kita vertus, turime:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Taigi, turime:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Turtas 6

Tai viena iš geometrinių vektorių savybių. Jei A ir B yra du vektoriai R³ ir Θ yra kampas, suformuotas tarp jų, tada:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kur || ∙ || reiškia vektoriaus modulį arba dydį.

Šio objekto geometrinis aiškinimas yra toks:

Leiskite A = PR ir B = PQ. Tada kampas, kurį sudaro vektoriai A ir B, yra trikampio RQP kampas P, kaip parodyta toliau pateiktame paveiksle.

Todėl lygiagretės su gretimais kraštais PR ir PQ plotas yra || A |||| B || sin (Θ), nes mes galime imtis pagrindo || A || ir jo aukštį nurodo || B || sin (Θ).

Dėl to galime daryti išvadą, kad || AxB || yra minėtos lygiagretės plotis.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į šias keturkampio P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) ir S (5,7, -3) viršūnes, parodyti, kad minėtas keturkampis yra lygiagretė ir rasti jos plotą.

Tam mes pirmiausia nustatome vektorius, kurie nustato keturkampio šonų kryptį. Tai yra:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kaip mes galime stebėti, kad A ir C turi tą patį vektoriaus režisierių, kurių abu yra lygiagrečiai; tokiu pat būdu, kaip ir su B ir D, darome išvadą, kad PQRS yra lygiagretė.

Jei norite, kad minėtos lygiagretės plotis būtų apskaičiuotas, apskaičiuojame BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Todėl kvadratinis plotas bus:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Galima daryti išvadą, kad lygiagretės plotis bus 89 kvadratinė šaknis.

Nuosavybė 7

Du vektoriai A ir B yra lygiagrečiai R³ taip ir tik jei AxB = 0

Demonstravimas

Akivaizdu, kad jei A arba B yra nulinis vektorius, tai reiškia, kad AxB = 0. Kadangi nulis vektorius yra lygiagretus bet kuriam kitam vektoriui, tada nuosavybė galioja.

Jei nė vienas iš dviejų vektorių yra nulinis vektorius, mes turime, kad jų dydžiai skiriasi nuo nulio; tai yra, abu || A || ≠ 0 kaip || B || ≠ 0, todėl turėsime || AxB || = 0, jei ir tik jei sin (Θ) = 0, ir tai atsitinka, jei ir tik tada, jei if = π arba Θ = 0.

Todėl galime padaryti išvadą „AxB = 0“, jei ir tik tada, kai Θ = π arba Θ = 0, o tai atsitinka tik tada, kai abu vektoriai yra lygiagretūs vienas kitam.

Turtas 8

Jei A ir B yra du vektoriai R³, tada AxB yra statmenas tiek A, tiek B.

Demonstravimas

Šiam demonstravimui atminkite, kad du vektoriai yra statmenai, jei A ∙ B yra lygus nuliui. Be to, žinome, kad:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, bet AxA yra lygus 0. Todėl turime:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Todėl galime daryti išvadą, kad A ir AxB yra statmenai vienas kitam. Analogiškai turime:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

BxB = 0, turime:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Todėl „AxB“ ir „B“ yra statmenai vienas kitam ir su tuo parodomas turtas. Tai labai naudinga, nes leidžia mums nustatyti plokštumos lygtį.

1 pavyzdys

Gaukite plokštumos lygtį, kuri eina per taškus P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ir R (2, 1, 3).

Leiskite A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) ir B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Tada A = - i + 3j + k ir B = i - 2j + k. Kad surastumėte plokštumą, kurią sudaro trys taškai, pakanka surasti vektorių, kuris yra normalus plokštumai, ty AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Naudodami šį vektorių ir atsižvelgiant į tašką P (1, 3, 2), galime nustatyti plokštumos lygtį taip:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Taigi, mes turime, kad plokštumos lygtis yra 5x + 2y - z - 9 = 0.

2 pavyzdys

Rasti plokštumos lygtį, kurioje yra taškas P (4, 0, - 2) ir yra statmena kiekvienai plokštumai x - y + z = 0 ir 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Žinant, kad normalus vektorius į plokštumą ax + + cz + d = 0 yra (a, b, c), mes turime, kad (1, -1,1) yra normalus x - y + z = 0 y vektorius ( 2.1, - 4) yra normalus 2x + y - 4z - 5 = 0 vektorius.

Todėl normalus vektorius į norimą plokštumą turi būti statmenas (1, -1,1) ir a (2, 1, - 4). Minėtas vektorius yra:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Tada mes turime, kad norima plokštuma yra ta, kurioje yra taškas P (4,0, - 2), o vektorius (3,6,3) yra normalus vektorius.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Programos

Paralelinės pakabos tūris

Taikymas, turintis trigubą skalarinį produktą, turi sugebėti apskaičiuoti lygiagrečiojo skersmens, kurio kraštai pateikiami vektoriais A, B ir C, tūrį, kaip parodyta paveiksle:

Šią programą galime padaryti tokiu būdu: kaip jau minėjome, vektorius AxB yra vektorius, kuris yra normalus A ir B plokštumai. Mes taip pat turime, kad vektorius - (AxB) yra kitas vektorius, normalus minėtai plokštumai.

Mes pasirenkame normalų vektorių, kuris su mažiausiu kampu sudaro vektorių C; neprarandant bendro pobūdžio, tegul AxB yra vektorius, kurio kampas su C yra mažiausias.

Mes turime, kad ir „AxB“, ir „C“ turi tą patį pradžios tašką. Be to, žinome, kad lygiagretės, kuri sudaro lygiagretės pagrindą, plotas yra || AxB ||. Todėl, jei lygiagretės pakėlimo aukštis yra h, mes turime, kad jo tūris būtų:

V = || AxB || h.

Kita vertus, apsvarstykite skalarinį produktą tarp „AxB“ ir „C“, kurį galima apibūdinti taip:

Tačiau pagal trigonometrines savybes turime, kad h = || C || cos (Θ), todėl turime:

Tokiu būdu turime:

Apskritai, mes turime, kad lygiagrečiojo skersmens tūris yra nustatomas pagal absoliučią trijų skalaro produktų AxB ∙ C vertę..

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Atsižvelgiant į taškus P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ir S = (2, 6, 9), šie taškai sudaro lygiagretį, kurio kraštai jie yra PQ, PR ir PS. Nustatykite minėto lygiagrečiojo srauto tūrį.

Sprendimas

Jei laikomės:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Naudodami trigubo skalaro produkto savybę, turime:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Todėl mes turime, kad minėto lygiagrečiojo srauto tūris yra 52.

2 pratimas

Nustatykite lygiagrečiojo skersmens, kurio kraštai yra A = PQ, B = PR ir C = PS, tūrį, kur taškai P, Q, R ir S yra (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ir (2, 2, 5).

Sprendimas

Pirmiausia turime, kad A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Apskaičiuojame AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Tada apskaičiuojame AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Taigi darome išvadą, kad minėto lygiagrečiojo srauto tūris yra 1 kubinis vienetas.

Nuorodos

1. Leithold, L. (1992). APSKAIČIAVIMAS su analitine geometrija. HARLA, S.A.
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksika: Continental.
3. Saenz, J. (s.f.). Vektorinis skaičiavimas 1ed. Hypotenuse.
4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorinė analizė 2. Mc Graw kalnas.
5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Įvairių kintamųjų skaičiavimas 4ed. Mc Graw kalnas.