Lygiagrečiosios savybės, tipai, plotas, tūris

A lygiagrečiai yra geometrinis kūnas, kurį sudaro šeši veidai, kurių pagrindinė charakteristika yra ta, kad visi jų veidai yra lygiagretės, o jų priešingos pusės yra lygiagrečios viena kitai. Tai kasdieniame gyvenime paplitęs polichedronas, nes jį galima rasti batų dėžėse, plytų formoje, mikrobangų formoje ir kt..

Būdamas daugiabriauniu, lygiagrečiai sujungtas ribinis tūris, o visi jo veidai yra plokšti. Ji yra prizmių grupės, kuri yra tai, kuri yra daugialypė, kurioje visos jų viršūnės yra dvi lygiagrečios plokštumos, dalis..

Indeksas

• 1 Paralelinės pakabos elementai
  • 1.1 veidai
  • 1.2 Briaunos
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonal
  • 1.5 Centras
• 2 Lygiagrečių vamzdžių charakteristikos
• 3 tipai
  • 3.1 Įstrižainių skaičiavimas
• 4 Plotas
  • 4.1. Ortohedrono sritis
  • 4.2 Kubo plotas
  • 4.3 Rombohedrono sritis
  • 4.4 Rombo sritis
• 5
  • 5.1 Puikiai lygiagrečiai
• 6 Bibliografija

Paralelinės pakopos elementai

Veidai

Jie yra visi regionai, kuriuos sudaro lygiagretės, ribojančios lygiagretųjį vamzdį. Lygiagrečiai suformuota šeši veidai, kuriuose kiekvienas veidas turi keturis gretimus veidus ir vienas priešais. Be to, kiekviena pusė yra lygiagreti priešingai.

Briaunos

Jie yra dviejų veidų bendroji pusė. Iš viso lygiagrečiai suformuota dvylikos briaunų.

Vertex

Tai yra taškas, kuriame yra trys veidai, esantys greta dviejų ar dviejų. Lygiagrečiai sujungta aštuonių viršūnių.

Diagonal

Atsižvelgiant į dvi priešingas šoninės plokštumos puses, galime nupiešti linijos segmentą, kuris eina iš vienos veido viršūnės į priešingą kito krašto viršūnę.

Šis segmentas yra žinomas kaip lygiagretės skersmuo. Kiekvienoje lygiagretėje yra keturi įstrižainiai.

Downtown

Tai ta vieta, kurioje susikerta visi įstrižainiai.

Lygiagrečiojo skerspjūvio charakteristikos

Kaip minėjome, šis geometrinis kūnas turi dvylika kraštų, šešis veidus ir aštuonias viršūnes.

Lygiagretėje galite nustatyti tris rinkinius, susidedančius iš keturių kraštų, kurie yra lygiagrečiai vienas kitam. Be to, šių rinkinių kraštai taip pat atitinka tą patį ilgį.

Kita savybė, kuri yra lygiagrečiai suformuota, yra tai, kad jie yra išgaubti, tai yra, jei mes imame bet kokią taškų porą, priklausančią lygiagrečiojo skerspjūvio vidui, segmentas, kurį nustato ta punktų pora, taip pat bus lygiagrečioje vietoje..

Be to, lygiagretaus išgaubtojo polyhedros atitiktis atitinka Eulerio polihedros teoriją, kuri suteikia mums santykį tarp veidų skaičiaus, kraštų skaičiaus ir viršūnių skaičiaus. Šis ryšys pateikiamas kaip tokia lygtis:

C + V = A + 2

Ši funkcija yra žinoma kaip „Euler“ charakteristika.

Kur C yra veidų skaičius, V viršūnių skaičius ir A briaunų skaičius.

Tipai

Mes galime klasifikuoti lygiagrečiuosius rėmelius pagal jų veidus šiais tipais:

Ortopedija

Jie yra lygiagretūs, kai jų veidus sudaro šeši stačiakampiai. Kiekvienas stačiakampis yra statmenas tiems, kurie dalijasi kraštais. Jie yra labiausiai paplitę mūsų kasdieniame gyvenime - tai įprastas batų dėžių ir plytų būdas.

Kubas arba įprastas šešiakampis

Tai yra ypatingas ankstesnio atvejo atvejis, kai kiekvienas veidas yra kvadratas.

Kubas taip pat yra geometrinių kūnų, vadinamų platoninėmis kietomis dalimis, dalis. Platoninė kieta medžiaga yra išgaubta daugiabriaunė, todėl tiek jos veidai, tiek vidiniai kampai yra vienodi..

Romboedro

Jis yra lygiagrečiai su deimantais ant veido. Šie deimantai yra vienodi, nes jie dalijasi kraštais.

Romboiedro

Jo šeši veidai yra romboidai. Prisiminkite, kad rombo yra daugiakampis, turintis keturias puses ir keturis kampus, kurie yra lygūs nuo dviejų iki dviejų. Romboidai yra lygiagretės, kurios nėra nei kvadratinės, nei stačiakampės, nei rombo formos.

Kita vertus, įstrižos lygiagretės yra tos, kuriose bent vienas aukštis nesutinka su jo kraštu. Šioje klasifikacijoje galime įtraukti romboedronus ir rombicedronus.

Diagoninis skaičiavimas

Norint apskaičiuoti ortogedrono įstrižainę, galime naudoti Pitagoro teoriją R³.

Prisiminkite, kad ortogedronas turi savybę, kad kiekviena pusė yra statmena šonams, kurie dalijasi kraštu. Iš to mes galime daryti išvadą, kad kiekvienas kraštas yra statmenas tiems, kurie dalijasi viršūnėmis.

Apskaičiuojant ortodrono įstrižainės ilgį, mes elgiamės taip:

1. Apskaičiuojame vieno iš veidų įstrižainę, kurią mes sukursime kaip pagrindą. Tam mes naudojame Pitagoro teoremą. Pavadinkite šią įstrižainę d_b.

2. Tada su d_b mes galime sukurti naują dešinįjį trikampį, kad minėto trikampio hipotensija būtų D įstrižainė.

3. Mes vėl naudojame Pitagoro teoremą ir mes turime, kad minėto įstrižainės ilgis yra:

Kitas būdas apskaičiuoti įstrižaines labiau grafiniu būdu yra laisvųjų vektorių suma.

Prisiminkite, kad du laisvi vektoriai A ir B pridedami, pridedant vektoriaus B uodegą su vektoriaus A galu.

Vektorius (A + B) yra tas, kuris prasideda nuo A uodegos ir baigiasi B galu.

Apsvarstykite lygiagretį, į kurį norime apskaičiuoti įstrižainę.

Nustatome kraštus patogiai orientuotais vektoriais.

Tada pridedame šiuos vektorius ir gautas vektorius bus lygiagrečiojo skerspjūvio įstrižainė.

Plotas

Lygiagretės pakraščio plotą nurodo kiekvienos jų veidų srities suma.

Jei mes nustatysime vieną iš pagrindų,

A_L + 2A_B = Bendras plotas

Kur A_L yra lygus visų kraštų, esančių greta pagrindo, plotų, vadinamų šonine sritimi, ir A_B yra bazinis plotas.

Priklausomai nuo lygiagrečiojo tipo, su kuriuo dirbame, tipą galime perrašyti.

Ortohedrono sritis

Jis pateikiamas pagal formulę

A = 2 (ab + bc + ca).

1 pavyzdys

Apskaičiuojant lygiagrečiojo skerspjūvio plotą ir jo įstrižainės ilgį, turint omenyje tokį ortogedroną, kurio šonuose yra a = 6 cm, b = 8 cm ir c = 10 cm..

Naudodamiesi ortogedro srities formulė, kurią turime

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi jis yra ortoedronas, bet kurio iš keturių įstrižainių ilgis yra tas pats.

Naudojant Pitagoro teoremą, mums reikia

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Kubo plotas

Kadangi kiekvienas kraštas yra vienodo ilgio, turime a = b ir a = c. Pakeičiant ankstesnę formulę turime

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

2 pavyzdys

Žaidimų konsolės dėžutė yra kubo formos. Jei norime šį dėžutę suvynioti su dovanų popieriumi, kiek popieriaus išleisime, žinodami, kad kubo kraštų ilgis yra 45 cm?

Naudojame kubo srities formulę

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Rombohedrono sritis

Kadangi visi jų veidai yra lygūs, pakanka apskaičiuoti vieno iš jų plotą ir padauginti iš šešių.

Mes galime apskaičiuoti deimantų plotą naudodami jos įstrižaines pagal šią formulę

A_R = (Dd) / 2

Naudojant šią formulę daroma išvada, kad bendras rombohedrono plotas yra

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3 pavyzdys

Šių rombohedronų veidus sudaro rombas, kurio įstrižainės yra D = 7 cm ir d = 4 cm. Jūsų sritis bus

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Rombo sritis

Apskaičiuojant rombo plotą, turime apskaičiuoti romboidų, kurie jį sudaro, plotą. Kadangi lygiagretės pakopos atitinka tai, kad priešingos pusės turi tą patį plotą, mes galime susieti šonus su trimis poromis.

Tokiu būdu mes turime, kad jūsų sritis bus

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Kur b_i yra bazės, susijusios su šonais ir_i jo santykinis aukštis, atitinkantis minėtas bazes.

4 pavyzdys

Apsvarstykite toliau nurodytą lygiagretį,

kur A pusė ir A 'pusė (jos priešinga pusė) yra b = 10 ir aukštyje h = 6. Pažymėtas plotas turės reikšmę

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B ir B 'turi b = 4 ir h = 6

A₂ = 2 (4) (6) = 48

Ir C ir C 'turi b = 10 ir h = 5

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Galiausiai rombohedrono sritis yra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Lygiagretės formos tūris

Formulė, suteikianti mums lygiagrečiojo skersmens tūrį, yra vieno iš jos paviršių plotas, atitinkantis aukštį, atitinkantį minėtą veidą.

V = A_Ch_C

Priklausomai nuo lygiagretės formos tipo, formulė gali būti supaprastinta.

Taigi mes, pavyzdžiui, turime, kad ortofono apimtis būtų suteikta

V = abc.

Kur a, b ir c žymi ortofono kraštų ilgį.

Ir konkrečiu atveju kubas yra

V = a³

1 pavyzdys

Yra trys skirtingi slapukų dėžių modeliai ir norite žinoti, kuriame iš šių modelių galite saugoti daugiau slapukų, tai yra, kuris iš jų yra didžiausias.

Pirmasis yra kubas, kurio krašto ilgis yra a = 10 cm

Jo tūris bus V = 1000 cm³

Antrajame krašte yra b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Todėl jo tūris yra V = 765 cm³

Trečiasis yra e = 9 cm, f = 9 cm ir g = 13 cm

Ir jo tūris yra V = 1053 cm³

Todėl didžiausias tūris yra trečias.

Kitas būdas pasiekti lygiagrečiojo srauto tūrį yra kreiptis į vektoriaus algebrą. Visų pirma, trigubas skaliarinis produktas.

Vienas iš geometrinių interpretacijų, turinčių trigubą skalarinį produktą, yra lygiagrečiojo skersmens tūris, kurio kraštai yra trys vektoriai, turintys tą patį viršūnę kaip pradinis taškas.

Tokiu būdu, jei mes turime lygiagretųjį skydą ir norime žinoti, koks yra jo tūris, pakanka jį atstovauti R koordinačių sistemoje.³ suderinti vieną iš jos viršūnių su kilme.

Tada mes vaizduojame kraštus, kurie sutampa su vektoriais, kaip parodyta paveiksle.

Tokiu būdu mes turime, kad minėto lygiagrečiojo skersmens tūris būtų nustatytas pagal

V = | AxB ∙ C |

Arba taip pat tūris yra 3 × 3 matricos determinantas, kurį sudaro kraštinių vektorių komponentai.

2 pavyzdys

Atstovaujant kitą lygiagretį R³ matome, kad vektoriai, kurie ją nustato, yra tokie

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ir w = (-0,25, -4, 4)

Naudojantis trimis skaliariniais produktais

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iš to darome išvadą, kad V = 60

Dabar pagalvokite, kas yra R3, kurio kraštai yra nustatyti vektoriuose

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ir C = (3, 4, 4)

Tai lemia determinantai

Taigi mes turime, kad minėto lygiagrečiojo srauto tūris yra 112.

Abu yra lygūs apimties skaičiavimo būdai.

Puikiai lygiagrečiai

Tai žinoma kaip Eulerio plyta (arba Eulerio blokas) ortofonui, kuris tenkina savybę, kad ir jos kraštų ilgis, ir kiekvieno jo veido įstrižainių ilgis yra sveiki skaičiai.

Nors Euleris nebuvo pirmasis mokslininkas, tiriantis ortofonus, atitinkančius tą turtą, jis rado įdomių rezultatų apie juos.

Mažesnę Eulerio plytą atrado Paul Halcke, o jo kraštų ilgis yra a = 44, b = 117 ir c = 240.

Atviros problemos skaičiaus teorijoje yra tokios

Ar yra puikūs ortofonai??

Šiuo metu į šį klausimą atsakyti nepavyko, nes nebuvo įmanoma įrodyti, kad šių įstaigų nėra, bet nė vienas iš jų nebuvo rastas..

Iki šiol buvo parodyta, kad egzistuoja tobuli lygiagretūs stūmokliai. Pirmasis, kurį reikia atrasti, yra jo kraštų ilgis 103, 106 ir 271.

Bibliografija

1. Guy, R. (1981). Neišspręstos skaičiaus teorijos problemos. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija. Pažanga.
3. Leithold, L. (1992). APSKAIČIAVIMAS su analitine geometrija. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Techninis brėžinys: Darbo knyga 3 2 . Tebaras.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksika: Continental.