Linijinis interpoliacijos metodas



The linijinė interpoliacija yra metodas, kilęs iš bendrosios Niutono interpoliacijos ir leidžia apytiksliai nustatyti nežinomą reikšmę, kuri yra tarp dviejų nurodytų skaičių; tai yra tarpinė vertė. Jis taip pat taikomas apytikslėms funkcijoms, kai reikšmės f(a) ir f(b) jie yra žinomi ir norite žinoti tarpinį f(x).

Yra įvairių tipų interpoliacija, pvz., Linijinė, kvadratinė, kubinė ir aukštesnė kategorija, paprasčiausia yra linijinis aproksimavimas. Kaina, kuri turi būti sumokėta linijine interpoliacija, yra ta, kad rezultatas nebus toks tikslus, kaip ir apytiksliai pagal aukštesniųjų klasių funkcijas..

Indeksas

  • 1 Apibrėžimas
  • 2 Metodas
  • 3 Išspręstos pratybos
    • 3.1 1 užduotis
    • 3.2 2 pratimas
  • 4 Nuorodos

Apibrėžimas

Linijinė interpoliacija yra procesas, leidžiantis jums nustatyti vertę tarp dviejų aiškiai apibrėžtų verčių, kurios gali būti lentelės arba tiesinės diagramos..

Pavyzdžiui, jei žinote, kad 3 litrai pieno yra verta $ 4, o 5 litrai yra 7 $, bet norite sužinoti, kas yra 4 litrų pieno vertė, interpoliuojant, kad būtų nustatyta tarpinė vertė..

Metodas

Norėdami įvertinti tarpinę vertę, funkcija f yra artima(x) tiesia linija r(x), tai reiškia, kad funkcija kinta tiesiškai „x“, kai ruožas yra „x = a“ ir „x = b“; tai yra "x" reikšmė intervale (x0, x1) ir (ir0, ir1) „y“ reikšmę nurodo linija tarp taškų ir išreiškiama tokiu santykiu:

(ir - ir0) ÷ (x - x0) = (ir1 - ir0) ÷ (x1 - x0)

Kad interpoliacija būtų linijinė, būtina, kad interpoliacijos polinomas būtų laipsnio (n = 1) laipsnis, kad jis atitiktų x reikšmes.0 ir x1.

Linijinė interpoliacija grindžiama trikampių panašumu, todėl, gaunant geometrinę iš ankstesnės išraiškos, galime gauti „y“ reikšmę, kuri reiškia „x“ nežinomą vertę..

Tokiu būdu jūs turite:

a = tan Ɵ = (priešinga pusė1 ÷ gretima koja1) = (priešinga pusė2 ÷ gretima koja2)

Kitaip išreikštas:

(ir - ir0) ÷ (x - x0) = (ir1 - ir0) ÷ (x1 - x0)

„Ir“ išraiškų išvalymas:

(ir - ir0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (ir1 - ir0)

(ir - ir0) = (ir1 - ir0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Taigi, gauname bendrąją linijinės interpoliacijos lygtį:

y = y0 + (ir1 - ir0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Apskritai, tiesinė interpoliacija suteikia nedidelę klaidą, palyginti su tikrąja tikrosios funkcijos verte, nors klaida yra minimali, palyginti su tuo, jei intuityviai pasirinksite numerį, kuris yra arti to, kurį norite rasti.

Ši klaida atsiranda, kai bandote apytiksliai apskaičiuoti kreivės vertę tiesia linija; tokiais atvejais intervalo dydis turi būti sumažintas, kad būtų tikslesnis suderinimas.

Siekiant geresnių rezultatų, atsižvelgiant į požiūrį, interpoliacijai patartina naudoti 2, 3 ar net aukštesnės klasės funkcijas. Tokiais atvejais „Taylor“ teorema yra labai naudinga priemonė.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Bakterijų skaičius tūrio vienetui, esantis inkubacijoje po x valandų, pateiktas šioje lentelėje. Jūs norite žinoti, kas yra 3,5 valandų bakterijų tūris.

Sprendimas

Etaloninė lentelė nenustato vertės, rodančios bakterijų kiekį 3,5 valandos, tačiau jos turi didesnę ir mažesnę vertę, atitinkančią atitinkamai 3 ir 4 valandų laiką. Tokiu būdu:

x0 = 3 ir0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 ir1 = 135

Dabar matematinė lygtis taikoma norint rasti interpoluotą vertę, kuri yra tokia:

y = y0 + (ir1 - ir0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Tada atitinkamos vertės pakeičiamos:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113.

Taip gaunama, kad 3,5 valandų bakterijų kiekis yra 113, o tai yra tarpinis tarp bakterijų, esančių 3 ir 4 valandų, tūris..

2 pratimas

Luisas turi ledų gamyklą ir nori atlikti tyrimą, kad nustatytų rugpjūčio mėn. Gautas pajamas. Bendrovės vadovas pateikia grafiką, išreiškiantį tokius santykius, tačiau Luis nori sužinoti:

Kokios yra rugpjūčio pajamos, jei buvo padaryta 55 000 dolerių sąskaita??

Sprendimas

Pateikiamas grafikas su pajamomis ir išlaidomis. Luis nori žinoti, kas yra rugpjūčio pajamos, jei gamykloje buvo 55 000 dolerių. Ši reikšmė nėra tiesiogiai atspindėta grafike, bet vertės yra didesnės ir mažesnės už tai.

Pirmiausia pateikiama lentelė, kurioje galima lengvai susieti vertybes:

Dabar interpoliacijos formulė naudojama y reikšmės nustatymui

y = y0 + (ir1 - ir0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Tada atitinkamos vertės pakeičiamos:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) * (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

Jei rugpjūčio mėnesį buvo padaryta 55 000 JAV dolerių, pajamos buvo 68,936 JAV doleriai.

Nuorodos

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
  2. Harpe, P. d. (2000). Geometrinės grupės teorijos temos. Čikagos spaudos universitetas.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Linijinė interpoliacija ", matematikos enciklopedija.
  4. , J. M. (1998). Skaitmeninių inžinerinių metodų elementai. UASLP.
  5. , E. (2002). Interpoliacijos chronologija: nuo senovės astronomijos iki šiuolaikinio signalo ir vaizdo apdorojimo. IEEE darbai.
  6. skaitinė, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.