Dalinės frakcijos ir pavyzdžiai



The dalinės frakcijos jie yra frakcijos, sudarytos iš polinomų, kurių vardiklis gali būti linijinis arba kvadratinis polinomas ir be to, gali būti padidintas iki tam tikros galios. Kartais, kai turime racionalias funkcijas, labai naudinga perrašyti šią funkciją kaip dalinių frakcijų arba paprastų frakcijų sumą.

Taip yra todėl, kad tokiu būdu galime geriau valdyti šias funkcijas, ypač tais atvejais, kai būtina integruoti šią programą. Racionali funkcija yra tiesiog dviejų polinomų santykis, kuris gali būti tinkamas arba netinkamas.

Jei skaitiklio polinomo laipsnis yra mažesnis už vardiklį, tai vadinama savo racionalia funkcija; kitaip tai vadinama netinkama racionalia funkcija.

Indeksas

  • 1 Apibrėžimas
  • 2 atvejai
    • 2.1 1 atvejis
    • 2.2 2 atvejis
    • 2.3 3 atvejis
    • 2.4 4 atvejis
  • 3 Programos
    • 3.1 Išsamus skaičiavimas
    • 3.2 Masinio veiksmo teisė
    • 3.3 Diferencialinės lygtys: logistinė lygtis
  • 4 Nuorodos

Apibrėžimas

Kai mes turime netinkamą racionalią funkciją, galime suskirstyti skaitiklio polinomą tarp vardiklio polinomo ir perrašyti frakciją p (x) / q (x) pagal padalinio algoritmą kaip t (x) + s (x) / q (x), kur t (x) yra polinomas ir s (x) / q (x) yra racionali savo paties funkcija.

Dalinė frakcija yra bet kokia tinkama polinomų funkcija, kurios vardiklis yra formos (ax + b)n o (kirvis2+ bx + c)n, jei polinomas kirvis2 + bx + c neturi realių šaknų ir n yra natūralus skaičius.

Norint perrašyti racionalią funkciją dalinėse frakcijose, pirmas dalykas yra faktoriaus q (x) veiksnys kaip linijinių ir (arba) kvadratinių veiksnių produktas. Kai tai bus padaryta, nustatomos dalinės frakcijos, kurios priklauso nuo minėtų veiksnių pobūdžio.

Atvejai

Mes svarstome keletą atvejų atskirai.

1 atvejis

Q (x) faktoriai yra visi linijiniai ir nė vienas jų kartojamas. Tai yra:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Ten linijinis faktorius nėra identiškas kitam. Tokiu atveju mes rašysime:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Kur A1,A2,..., As yra konstantos, kurias norite rasti.

Pavyzdys

Mes norime suskaidyti racionalią funkciją į paprastas frakcijas:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Vykdome vardiklininko faktorizavimą, ty:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Tada:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Taikydami mažiausiai paplitusius kelis, galite gauti:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Norime gauti A, B ir C konstantų reikšmes, kurias galima rasti pakeičiant šaknis, kurios atšaukia kiekvieną terminą. Pakeičiant 0 x, turime:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Pakaitinis - 1 x x:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Pakaitinis - 2 x, jei mes turime:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Tokiu būdu gaunamos vertės A = -1/2, B = 2 ir C = -3/2..

Yra dar vienas būdas gauti A, B ir C reikšmes. Jei lygties x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x sujungiame terminus, turime:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Kadangi tai yra polinomų lygybė, turime, kad kairiojo krašto koeficientai turi būti lygūs dešinėje pusėje. Taip gaunama tokia lygčių sistema:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Sprendžiant šią lygčių sistemą gauname rezultatus A = -1/2, B = 2 ir C = -3/2.

Galiausiai, pakeičiant gautas vertes turime:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2 atvejis

Q (x) veiksniai yra visi tiesiniai ir kai kurie kartojami. Tarkime, kad (ax + b) yra kartotinis veiksnys „s“; tada šiam faktoriui atitinka dalinių „s“ frakcijų sumą.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Kur As,As-1,..., A1 jie yra konstantos, kurias reikia nustatyti. Toliau pateiktame pavyzdyje parodysime, kaip nustatyti šias konstantas.

Pavyzdys

Skilti į dalines frakcijas:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Racionalią funkciją rašome kaip dalinių frakcijų sumą:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Tada:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Pakeitus 2 x, turime:

7 = 4C, ty C = 7/4.

Pakeičiant 0 x, turime:

- 1 = -8A arba A = 1/8.

Pakeitus šias reikšmes ankstesnėje lygtyje ir kurdami, turime:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Ex2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Suderinus koeficientus, gauname šią lygčių sistemą:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Sistemos sprendimas:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Dėl to turime:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

3 atvejis

Q (x) veiksniai yra kvadratiniai, be jokio kvadratinio koeficiento. Šiuo atveju kvadratinis veiksnys (kirvis)2 + bx + c) atitinka dalinę frakciją (Ax + B) / (kirvis)2 + bx + c), kur A ir B konstantos yra tos, kurias norite nustatyti.

Toliau pateiktame pavyzdyje parodyta, kaip elgtis šiuo atveju

Pavyzdys

Skilkite į paprastas frakcijas a (x + 1) / (x3 - 1).

Pirmiausia pereisime prie vardiklio, kuris mums suteikia:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Mes matome, kad (x2 + x + 1) yra nesumažinamas kvadratinis polinomas; tai yra, ji neturi tikrųjų šaknų. Jo skilimas į dalines frakcijas bus toks:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Iš to gauname šią lygtį:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Naudojant vienodą polinomų skaičių, gauname tokią sistemą:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Iš šios sistemos turime A = 2/3, B = - 2/3 ir C = 1/3. Pakeitus, turime:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

4 atvejis

Galiausiai 4 atvejis yra toks, kuriame q (x) veiksniai yra tiesiniai ir kvadratiniai, kai kai kurie iš linijinių kvadratinių veiksnių kartojami.

Tokiu atveju taip (kirvis2 + bx + c) yra kvadratinis koeficientas, kartojamas „s“ kartus, tada dalinė frakcija, atitinkanti koeficientą (kirvį)2 + bx + c) bus:

(A)1x + B) / (kirvis2 + bx + c) + ... + (A)s-1x + Bs-1) / (kirvis)2 + bx + c)s-1 + (A)sx + Bs) / (kirvis)2 + bx + c)s

Kur As, As-1,..., A ir Bs, Bs-1,..., B yra konstantos, kurias norite nustatyti.

Pavyzdys

Mes norime suskirstyti šią racionalią funkciją į dalines frakcijas:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Kaip x2 - 4x + 5 yra negrįžtamas kvadratinis faktorius, mes turime, kad jo skilimas į dalines frakcijas yra:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Supaprastinus ir plėtojant, turime:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Iš pirmiau pateiktos sistemos turime tokią lygčių sistemą:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Sprendžiant sistemą, turime:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ir E = - 3/5.

Pakeitus gautas vertes turime:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Programos

Išsamus skaičiavimas

Dalinės frakcijos dažniausiai naudojamos tiriant vientisą skaičiavimą. Toliau pateikiame keletą pavyzdžių, kaip integralus naudoti dalinėmis frakcijomis.

1 pavyzdys

Norime apskaičiuoti:

Matome, kad vardiklis q (x) = (t + 2)2(t + 1) sudaro tiesiniai koeficientai, kai vienas iš šių kartojimų; dėl to mes esame 2 atveju.

Turime:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Perrašome lygtį ir turime:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Jei t = - 1, turime:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jei t = - 2, tai suteikia mums:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Tada, jei t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Pakeičiant A ir C reikšmes:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Iš pirmiau minėtų dalykų turime, kad B = - 1.

Perrašome integralą kaip:

Toliau išsprendžiame jį pakaitiniu metodu:

Taip atsiranda:

2 pavyzdys

Išspręskite šį integralą:

Tokiu atveju galime nustatyti koeficientą q (x) = x2 - 4 kaip q (x) = (x - 2) (x + 2). Aišku, mes esame tokiu atveju: 1. Todėl:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Jis taip pat gali būti išreikštas kaip:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jei x = - 2, turime:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ir jei x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Taigi, turime išspręsti tam tikrą integralą, kuris yra lygiavertis išspręsti:

Tai mums suteikia:

3 pavyzdys

Išspręskite integralą:

Mes turime q (x) = 9x4 + x2 , kad galime faktoriaus q (x) = x2(9x2 + 1).

Šiuo atveju mes turime pakartotinį tiesinį koeficientą ir kvadratinį veiksnį; tai yra, 3 atveju.

Turime:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Grupuojant ir naudojant polinomų lygybę turime:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Iš šios lygčių sistemos turime:

D = - 9 ir C = 0

Tokiu būdu mes turime:

Spręsdami pirmiau minėtą, turime:

Masinės veiklos teisė

Į cheminę medžiagą, tiksliau masinio veiksmo įstatyme, randama įdomi dalinių frakcijų, taikomų integriniam skaičiavimui, taikymas.

Tarkime, kad mes turime dvi medžiagas - A ir B, kurios sujungia ir sudaro C medžiagą, todėl C kiekio derinys laiko atžvilgiu yra proporcingas A ir B kiekių produktui bet kuriuo momentu..

Masinio veiksmo teisę galime išreikšti taip:

Šioje formulėje α yra pradinis gramų kiekis, atitinkantis A ir β pradinį gramų kiekį, atitinkantį B.

Be to, r ir s atitinka A ir B gramų skaičių, kurie sujungiami suformuojant r + s gramus C. Savo ruožtu x reiškia medžiagos C kiekį gramais metu t ir K yra proporcingumo. Pirmiau pateiktą lygtį galima perrašyti kaip:

Atlikite šiuos pakeitimus:

Mes turime, kad lygtis tampa:

Iš šios išraiškos galime gauti:

Jei taip a ≠ b, integracijai gali būti naudojamos dalinės frakcijos.

Pavyzdys

Pavyzdžiui, paimkite medžiagą C, atsirandančią derinant medžiagą A su B taip, kad būtų laikomasi masių teisės, kai a ir b reikšmės yra atitinkamai 8 ir 6. Pateikite lygtį, kuri mums suteikia C reikšmę kaip laiko funkciją.

Pakeitus vertes pagal pateiktą masės teisę, mes turime:

Skiriant kintamuosius turime:

Čia 1 / (8 - x) (6 - x) gali būti parašyta kaip dalinių frakcijų suma:

Taigi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jei pakeisime x už 6, turime tą, kad B = 1/2; ir pakeičiant x 8, turime A = - 1/2.

Integravimas dalinėmis dalimis:

Tai mums suteikia:

Diferencialinės lygtys: logistinė lygtis

Kita programa, kuri gali būti suteikta dalinėms frakcijoms, yra logistinėje diferencialinėje lygtyje. Paprastuose modeliuose mes turime, kad gyventojų augimo tempas yra proporcingas jo dydžiui; tai yra:

Šis atvejis yra idealus ir laikomas realistiniu, kol neįmanoma, kad sistemoje esantys ištekliai yra nepakankami gyventojams išlaikyti.

Esant tokioms situacijoms, yra protingiau manyti, kad yra didžiausias pajėgumas, kurį mes vadinsime L, kad sistema gali palaikyti ir kad augimo greitis yra proporcingas gyventojų skaičiui, padaugintam iš turimo dydžio. Šis argumentas lemia šią diferencialinę lygtį:

Ši išraiška vadinama logistine diferencialine lygtimi. Tai atskiriama diferencialinė lygtis, kurią galima išspręsti integracijos metodu dalinėmis frakcijomis.

Pavyzdys

Pavyzdžiui, reikėtų atsižvelgti į populiaciją, kuri auga pagal šią logistinę diferencialinę lygtį y '= 0.0004y (1000 - y), kurios pradiniai duomenys yra 400. Norime žinoti populiacijos dydį metu t = 2, kur t matuojamas metų.

Jei mes parašome „ir“ su „Leibniz“ notacija kaip funkcija, kuri priklauso nuo t, turime:

Kairiosios pusės integralas gali būti išspręstas taikant integracijos metodą dalinėmis frakcijomis:

Ši paskutinė lygybė gali būti perrašyta taip:

- Pakeitus y = 0, mes turime A 1/1000.

- Pakeitus y = 1000, mes turime, kad B lygus 1/1000.

Su šiomis reikšmėmis integralas paliekamas taip:

Sprendimas yra:

Pradinių duomenų naudojimas:

Išvalydami ir palikę:

Tada mes turime tai t = 2:

Apibendrinant, po 2 metų gyventojų skaičius yra maždaug 597,37.

Nuorodos

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Andų universitetas. Leidinių taryba.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 išspręsti integralai. Tachiros nacionalinis eksperimentinis universitetas.
  3. Leithold, L. (1992). APSKAIČIAVIMAS su analitine geometrija. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Skaičiavimas. Meksika: „Pearson Education“.
  5. Saenz, J. (s.f.). Išsamus skaičiavimas. Hypotenuse.