Iš eilės išvestinės priemonės (su išspręstomis pratybomis)

The iš eilės išvestiniai dariniai yra funkcijos išvestinės priemonės po antrojo išvestinio. Iš eilės išvestinių darinių apskaičiavimo procesas yra toks: mes turime funkciją f, kurią galime gauti ir taip gauti išvestinę funkciją f '. Šiai f išvestinei priemonei galime jį dar kartą gauti, gaunant (f ')'.

Ši nauja funkcija vadinama antrąja išvestimi; visos iš antrosios apskaičiuotos išvestinės priemonės yra nuoseklios; Šios, taip pat vadinamos aukštesne tvarka, turi puikių programų, pavyzdžiui, informacijos apie funkcijos grafiko brėžinį, antrąjį santykinių kraštutinumų išvestinį bandymą ir begalinės serijos nustatymą..

Indeksas

• 1 Apibrėžimas
  • 1.1 1 pavyzdys
  • 1.2 2 pavyzdys
• 2 Greitis ir pagreitis
  • 2.1 1 pavyzdys
  • 2.2 2 pavyzdys
• 3 Programos
  • 3.1 Supaprastintas derinimas
  • 3.2 Pavyzdys
  • 3.3 Santykiniai galai
  • 3.4 Pavyzdys
  • 3.5 Taylor serija
  • 3.6 Pavyzdys
• 4 Nuorodos

Apibrėžimas

Naudojant „Leibniz“ žymėjimą, mes turime, kad funkcijos „ir“ išvestis „x“ atžvilgiu yra dy / dx. Norėdami išreikšti antrą „ir“ išvestį naudojant „Leibniz“ žymėjimą, rašome taip:

Apskritai, iš Leibnizo žymėjimo galime išreikšti sekančius išvestinius darinius, kur n yra išvestinės eilės tvarka.

Kiti naudojami žymėjimai yra šie:

Keletas pavyzdžių, kuriais galime matyti skirtingas pastabas, yra:

1 pavyzdys

Gauti visas f funkcijos išvestines priemones, kurias apibrėžia:

Naudojant įprastus išvesties metodus, turime, kad f išvestinė priemonė yra:

Pakartodami procesą galime gauti antrą išvestinę priemonę, trečią išvestinę priemonę ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad ketvirtoji išvestinė priemonė yra lygi nuliui, o nulinis išvestis yra nulis, todėl turime:

2 pavyzdys

Apskaičiuokite ketvirtąją šios funkcijos išvestį:

Dėl šios funkcijos gauname:

Greitis ir pagreitis

Viena iš motyvų, dėl kurių buvo išaiškinta išvestinė priemonė, buvo momentinio greičio apibrėžimo paieška. Oficialus apibrėžimas yra toks:

Tegul y = f (t) yra funkcija, kurios grafikas apibūdina dalelių trajektoriją per minutę t, tada jo greitis akimirksniu t:

Gavę dalelių greitį, galime apskaičiuoti momentinį pagreitis, kuris apibrėžiamas taip:

Akumuliatoriaus momentinis pagreitis, kurio kelio reikšmė yra y = f (t), yra:

1 pavyzdys

Dalelė juda linijoje pagal padėties funkciją:

Kai "y" matuojamas metrais ir "t" sekundėmis.

- Kokiu momentu jūsų greitis yra 0?

- Ką momentą jūsų pagreitis yra 0?

Išvedant pozicijos funkciją „ir“ mes turime, kad jo greitis ir pagreitis būtų pateikiami atitinkamai:

Norint atsakyti į pirmąjį klausimą, pakanka nustatyti, kada funkcija v tampa nulis; tai yra:

Toliau nagrinėjame tokį klausimą:

2 pavyzdys

Dalelė juda linijoje pagal šią judėjimo lygtį:

Nustatykite „t, y“ ir „v“, kai a = 0.

Žinant, kad greitis ir pagreitis yra pateikiami

Mes tęsiame ir gauname:

Atlikdami = 0, turime:

Iš kurių mes galime daryti išvadą, kad t reikšmė a yra lygi nuliui yra t = 1.

Tada, įvertinant padėties funkciją ir greičio funkciją t = 1, turime:

Programos

Supaprastintas derinimas

Iš eilės išvestiniai dariniai taip pat gali būti gaunami taikant netiesioginį išvestį.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į šią elipsę, raskite „ir“:

Netiesiogiai atsižvelgiant į x, turime:

Tada, netiesiogiai išplaukiant iš x, tai suteikia mums:

Galiausiai turime:

Santykiniai galai

Kitas panaudojimas, kurį galime suteikti antros eilės dariniams, yra santykinių funkcijų galų skaičiavimas.

Pirmojo išeities iš vietinių kraštutinumų kriterijus nurodo, kad, jei turime funkciją f nepertraukiamai diapazone (a, b) ir yra c, kuris priklauso šiam intervalui, toks, kuris f yra panaikintas c (ty, kad c) yra kritinis taškas), gali įvykti vienas iš šių trijų atvejų:

- Jei f '(x)> 0 bet kuriam x, priklausančiam (a, c) ir f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Jei f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0, kai x priklauso (c, b), tada f (c) yra vietinis minimumas.

- Jei f (x) turi tą patį ženklą (a, c) ir (c, b), tai reiškia, kad f (c) nėra vietinis rezultatas.

Naudojant antros išvestinės priemonės kriterijų, galime žinoti, ar kritinis funkcijos numeris yra maksimalus ar vietinis minimumas, nereikia pamatyti, kas yra minėto funkcijos ženklas pirmiau minėtais intervalais.

Antrosios išvesties kriterijus nurodo, kad jei f '(c) = 0 ir kad f "(x) yra nepertraukiamas (a, b), atsitinka, kad jei f" (c)> 0, tada f (c) yra vietinis minimumas ir, jei f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Jei f "(c) = 0, nieko negalime užbaigti.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į funkciją f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², surasti f santykinius maksimalius ir minimalius dydžius, taikant antrosios išvestinės priemonės kriterijų.

Pirmiausia apskaičiuojame f '(x) ir f "(x) ir turime:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Dabar, f '(x) = 0, jei ir tik tada, jei 4x (x + 2) (x - 1) = 0, ir taip atsitinka, kai x = 0, x = 1 arba x = - 2.

Norint nustatyti, ar gauti kritiniai skaičiai yra santykiniai kraštutinumai, pakanka įvertinti „f“ ir taip stebėti jo ženklą.

f "(0) = - 8, todėl f (0) yra vietinis maksimumas.

f "(1) = 12, todėl f (1) yra vietinis minimumas.

f "(- 2) = 24, todėl f (- 2) yra vietinis minimumas.

Taylor serija

Tegul f yra funkcija, apibrėžta taip:

Ši funkcija pasižymi konvergencijos spinduliu R> 0 ir turi visų užsakymų (-R, R) derinius. Toliau pateiktos f išvestinės dalys suteikia mums:

Atsižvelgiant x = 0, galime gauti c reikšmes_n remiantis jo dariniais:

Jei mes n = 0 kaip funkciją f (ty f ^ 0 = f), tada galime perrašyti šią funkciją taip:

Dabar apsvarstykite funkciją kaip įgaliojimų seriją x = a:

Jei atliksime analogišką analizę su ankstesne, mums reikės parašyti funkciją f kaip:

Šios serijos yra žinomos kaip „Taylor“ serijos f. Kai a = 0, turime konkretų atvejį, vadinamą Maclaurin serija. Šio tipo serijos yra labai svarbios matematinei reikšmei, ypač skaitinė analizė, nes dėl to galime apibrėžti funkcijas kompiuteriuose, pvz.^x , sin (x) ir cos (x).

Pavyzdys

Gaukite „Maclaurin“ seriją e^x.

Atkreipkite dėmesį, kad jei f (x) = e^x, tada f⁽ⁿ⁾(x) = e^x ir f⁽ⁿ⁾(0) = 1, todėl jo „Maclaurin“ serija yra:

Nuorodos

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5-asis skaičiavimas. Mc Graw kalnas.
2. Leithold, L. (1992). APSKAIČIAVIMAS su analitine geometrija. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Skaičiavimas. Meksika: „Pearson Education“.
4. Saenz, J. (2005). Diferencinis skaičiavimas. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (s.f.). Išsamus skaičiavimas. Hypotenuse.