Algebriniai dariniai (su pavyzdžiais)



The algebriniai dariniai jie susideda iš išvestinės medžiagos tyrimo konkrečiame algebrinių funkcijų atveju. Išvestinės priemonės sąvokos kilmė grįžta į Senąją Graikiją. Šios sąvokos plėtojimą skatino būtinybė išspręsti dvi svarbias problemas, viena - fizikoje, kita - matematikoje.

Fizikoje išvestinė priemonė sprendžia judančio objekto momentinio greičio nustatymo problemą. Matematikoje tangentinę liniją galite rasti tam tikru tašku.

Nors yra iš tiesų daug daugiau problemų, kurios išsprendžiamos naudojant išvestinę priemonę, taip pat jos apibendrinimus, rezultatai, atsiradę po jos koncepcijos įvedimo.

Diferencialinio skaičiavimo pionieriai yra Niutonas ir Leibnizas. Prieš pateikdami formalią apibrėžtį, mes vystysime šią idėją matematiniu ir fiziniu požiūriu.

Indeksas

  • 1 Išvestinė priemonė, kaip tangentinės linijos nuolydis iki kreivės
  • 2 Išvestinė priemonė kaip momentinis judančio objekto greitis
    • 2.1 Algebrinė funkcija
  • 3 Išvestinės taisyklės
    • 3.1 Išvestos iš pastovios
    • 3.2 Galios išvestinė priemonė
    • 3.3 Išvestos iš pridėjimo ir atimties
    • 3.4 Produkto išvestinė priemonė
    • 3.5 Išvestas iš koeficiento
    • 3.6 Grandinės taisyklė
  • 4 Nuorodos

Išvestinė priemonė, kaip tangentinės linijos nuolydis iki kreivės

Tarkime, kad funkcijos y = f (x) grafikas yra nepertraukiamas grafikas (be viršūnių ar viršūnių ar atskyrimų) ir leiskite A = (a, f (a)) būti fiksuotu tašku. Mes norime rasti tangentinės linijos lygtį su funkcijos „f“ diagramoje A.

Imtis bet kokio kito taško P = (x, f (x)) grafiko, šalia A taško, ir nubrėžkite sekantinę liniją, kuri eina per A ir P. Sekanti linija yra linija, kuri perkelia kreivės grafiką viename ar daugiau taškų.

Norint gauti tangentinę liniją, kurią norime, turime tik apskaičiuoti nuolydį, nes jau turime tašką linijoje: taškas A.

Jei perkeliame tašką P palei grafiką ir jį arčiau arčiau taško A, pirmiau minėta sekanti linija priartės prie tangentinės linijos, kurią norime rasti. Atsižvelgiant į ribą, kai „P linkęs į A“, abi eilutės sutaps, taigi ir jos šlaituose.

Sekantinės linijos nuolydį nurodo

Pasakyti, kad „P“ metodai A yra lygūs teiginiui, kad „x“ artėja prie „a“. Taigi tangentinės linijos nuolydis prie f taško A taške bus lygus:

Pirmiau minėta išraiška žymima f '(a), ir yra apibrėžiama kaip f punkto funkcijos „a“ išvestis. Tada matome, kad analitiniu požiūriu funkcijos išvestis taške yra riba, bet geometriškai tai yra linijos, liečiančios taško, esančio taške, grafiko nuolydis..

Dabar šią sąvoką matysime fizikos požiūriu. Mes pasieksime tą pačią ankstesnės ribos išraišką, nors ir kitaip, gauname vieningo apibrėžimo.

Išvestinė priemonė kaip momentinis judančio objekto greitis

Pažiūrėkime trumpą pavyzdį, ką reiškia momentinis greitis. Pvz., Pavyzdžiui, kad automobilis, pasiektas į paskirties vietą, tai padarė 100 km per valandą greičiu, o tai reiškia, kad per valandą jis keliavo 100 km.

Tai nebūtinai reiškia, kad per visą valandą automobilis visada buvo 100 km, o automobilio spidometras kai kuriais momentais gali žymėti mažiau ar daugiau. Jei jam reikėjo sustoti šviesoforo šviesoje, greitis tuo metu buvo 0 km. Tačiau po vienos valandos maršrutas buvo 100 km.

Tai yra vadinamasis vidutinis greitis, ir jis apskaičiuojamas pagal nuvažiuoto atstumo santykį tarp praėjusio laiko, kaip ką tik matėme. Kita vertus, momentinis greitis yra tas, kuris žymi automobilio spidometro adatą nustatytu momentu.

Pažvelkime į tai dabar apskritai. Tarkime, kad objektas juda išilgai linijos ir kad šis poslinkis yra pateikiamas lygtimi s = f (t), kur kintamasis t matuoja laiką ir kintamąjį s poslinkį, atsižvelgiant į jo pradžią momentas t = 0, tuo metu jis taip pat yra nulis, tai yra, f (0) = 0.

Ši funkcija f (t) yra žinoma kaip padėties funkcija.

Ieškoma išraiška momentiniam objekto greičiui fiksuotoje akimirkoje "a". Šiuo greičiu mes jį pažymėsime V (a).

Leiskite t būti bet kokia akimirka, artima momentui „a“. Laiko intervale tarp „a“ ir „t“ objekto pozicijos pakeitimas yra f (t) -f (a).

Vidutinis šio laiko intervalo greitis yra:

Kuris yra momentinio greičio V (a) apytikslis. Šis apytikslis bus geriau, kai t priartės prie „a“. Todėl,

Atkreipkite dėmesį, kad ši išraiška yra lygi ankstesniu atveju, bet iš kitos perspektyvos. Tai yra žinoma kaip „f“ funkcijos išvestis taške „a“ ir yra pažymėta f '(a), kaip nurodyta pirmiau.

Atkreipkite dėmesį, kad padarius pakeitimą h = x-a, mes turime, kad, kai "x" linkęs "a", "h" linksta į 0, o ankstesnė riba transformuojama (lygiaverčiai) į:

Abi išraiškos yra lygiavertės, tačiau kartais geriau, jei ne vienas, o kitas, priklausomai nuo atvejo.

Funkcijos f išvestis yra apibrėžta apskritai bet kuriame taške "x", priklausančiame jos domenui kaip

Dažniausiai užfiksuoti y = f (x) funkcijos išvestį yra tai, ką ką tik matėme (f 'o ir'). Tačiau kitas plačiai naudojamas žymėjimas yra „Leibniz“ žymėjimas, kuris yra pateikiamas kaip bet kuri iš šių frazių:

Atsižvelgiant į tai, kad išvestinė priemonė iš esmės yra riba, ji gali arba negali egzistuoti, nes ribos ne visada egzistuoja. Jei egzistuoja, sakoma, kad nagrinėjama funkcija yra diferencijuojama tam tikru momentu.

Algebrinė funkcija

Algebrinė funkcija yra polinomų derinys sumų, atimčių, produktų, dalelių, galių ir radikalų pagalba..

Polinomas yra formos išraiška

Pn= anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+... + a2x2+ a1x + a0

Kur n yra natūralus skaičius ir visi ai, i = 0,1, ..., n, yra racionalūs skaičiai ir an≠ 0 Šiuo atveju sakoma, kad šio polinomo laipsnis yra n.

Toliau pateikiami algebrinių funkcijų pavyzdžiai:

Čia nėra eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės funkcijos. Išvesties taisyklės, kurias mes matysime toliau, galioja apskritai funkcijoms, bet mes apribosime ir taikysime jas algebrinių funkcijų atveju..

Perdavimo taisyklės

Išvestas iš konstanta

Jis nustato, kad konstantos išvestis yra nulis. Tai yra, jei f (x) = c, tada f '(x) = 0. Pavyzdžiui, pastovios 2 funkcijos derinys yra lygus 0.

Išvestas iš galios

Jei f (x) = xn, tada f '(x) = nxn-1. Pavyzdžiui, x išvestinė3 Tai 3x2. Dėl to gauname, kad tapatybės funkcijos f (x) = x išvestinė medžiaga yra f '(x) = 1x1-1= x0= 1.

Kitas pavyzdys yra: būti f (x) = 1 / x2, tada f (x) = x-2 ir f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

Ši savybė taip pat yra galiojančios šaknys, nes šaknys yra racionalios galios ir jūs galite taikyti pirmiau minėtus atvejus. Pavyzdžiui, kvadratinės šaknies išvestį nurodo

Gauta iš sumos ir atimties

Jei f ir g yra diferencijuotos funkcijos x, tada f + g suma taip pat skiriasi ir kad (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogiškai mes turime tą (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Kitaip tariant, sumos (atimties) išvestinė priemonė yra išvestinių finansinių priemonių suma (arba atimtis).

Pavyzdys

Jei h (x) = x2+x-1, tada

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Išvestas iš produkto

Jei f ir g yra diferencijuotos funkcijos x, tada produktas fg taip pat yra diferencijuojamas x ir jis įvykdytas

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Todėl mes turime, kad jei c yra konstanta ir f yra diferencijuota funkcija x, tada cf taip pat yra diferencijuojamas x ir (cf) '(x) = cf' (X).

Pavyzdys

Jei f (x) = 3x (x2+1), tada

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)' (x2+1) + 3x [(x2) „+ (1)“]

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

Išvestas iš koeficiento

Jei f ir g yra diferencijuoti x ir g (x) ≠ 0, tada f / g taip pat yra diferencijuojamas x, ir tiesa, kad

Pavyzdys: jei h (x) = x3/ (x2-5x)

h '(x) = [(x3) „(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (x5-5x)2.

Grandinės taisyklė

Ši taisyklė leidžia nustatyti funkcijų sudėtį. Jis nustato: jei y = f (u) yra diferencijuojamas u, yu = g (x) yra diferencijuojamas x, tada junginio funkcija f (g (x)) yra diferencijuojama x ir yra įsitikinusi, kad [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Tai reiškia, kad sudėtinės funkcijos išvestinė priemonė yra išorinės funkcijos (išorinės išvestinės priemonės) išvestinės priemonės, gautos iš vidinės funkcijos (vidinės išvestinės priemonės), produktas..

Pavyzdys

Jei f (x) = (x4-2x)3, tada

f '(x) = 3 (x4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

Taip pat galima apskaičiuoti funkcijų inversijos išvestį, taip pat ir apibendrinimą į aukštesnės eilės darinius. Programos yra plačios. Tarp jų jie išryškina savo komunalines paslaugas optimizavimo ir maksimalių bei mažiausių funkcijų problemose.

Nuorodos

  1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferencinis skaičiavimas. ITM.
  2. Cabrera, V. M. (1997). Skaičiavimas 4000. Redakcija Progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). Matematika prieš skaičiavimą. Medeljino universitetas.
  4. Eduardo, N. A. (2003). Įvadas į skaičiavimus. Ribiniai leidimai.
  5. Šaltiniai, A. (2016). PAGRINDINĖS MATEMATIKOS. Įvadas į skaičiavimus. Lulu.com.
  6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., Varberg, D. E. (2007). Skaičiavimas. „Pearson Education“.
  7. Saenz, J. (2005). Diferencinis skaičiavimas (Antra redakcija). Barquisimeto: Hipotenzija.
  8. Thomas, G. B., ir Weir, M. D. (2006). Skaičiavimas: keli kintamieji. „Pearson Education“.