Apytikslių apskaičiavimas naudojant diferencialą

Matematikos apytikslis yra skaičius, kuris nėra tiksli kažko vertė, bet yra taip arti, kad ji yra naudinga, nes ta tiksli vertė.

Kai matematikoje yra apytiksliai, tai yra todėl, kad rankiniu būdu sunku (ar kartais neįmanoma) žinoti tikslią norimos vertės vertę.

Pagrindinis įrankis dirbant su apytiksliais yra funkcijos skirtumas.

Funkcijos f skirtumas, žymimas Δf (x), yra ne daugiau kaip f funkcijų derinys, padaugintas iš nepriklausomo kintamojo pokyčio, ty Δf (x) = f '(x) * Δx.

Kartais vietoj Δf ir Δx naudojamas df ir dx.

Taikomi skirtumai

Formulė, taikoma taikant diferenciaciją, atsiranda tiksliai iš funkcijos, kaip ribos, išvesties apibrėžimo.

Šią formulę pateikia:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Čia suprantama, kad Δx = x-x0, todėl x = x0 + Δx. Naudojant šią formulę galima perrašyti kaip

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Pažymėtina, kad „x0“ nėra savavališka vertė, bet yra tokia reikšmė, kad f (x0) yra lengvai žinoma; Be to, „f (x)“ - tai tik norima apytikslė vertė.

Ar yra geresnių aproksimacijų?

Atsakymas yra „taip“. Ankstesnis yra paprasčiausias apytikslis, vadinamas „linijiniu suderinimu“.

Siekiant geresnės kokybės aproksimacijos (klaidos yra mažesnės), naudojami polinomai, kuriuose yra daugiau išvestinių darinių, vadinamų „Taylor polynomials“, taip pat kiti skaitiniai metodai, pavyzdžiui, Newton-Raphson metodas..

Strategija

Toliau pateikiama strategija yra:

- Pasirinkite tinkamą funkciją f, kad atliktumėte aproksimaciją, ir reikšmę „x“, kad f (x) yra vertė, kurią norite apytiksliai įvertinti.

- Pasirinkite reikšmę „x0“, netoli „x“, kad f (x0) būtų lengva apskaičiuoti.

- Apskaičiuokite Δx = x-x0.

- Apskaičiuokite funkcijos išvestį ir f '(x0).

- Pakeiskite duomenis formulėje.

Išsiaiškinti priartinimo pratimai

Toliau vyksta pratimų serija, kurioje atliekami skirtumai.

Pirmasis pratimas

Apytiksliai √3.

Sprendimas

Laikantis strategijos, reikia pasirinkti tinkamą funkciją. Šiuo atveju galima matyti, kad pasirinkta funkcija turi būti f (x) = √x, o apytikslė vertė yra f (3) = √3.

Dabar turime pasirinkti vertę "x0" arti "3", kad f (x0) būtų lengva apskaičiuoti. Jei pasirinksite „x0 = 2“, turite, kad „x0“ yra arti „3“, bet f (x0) = f (2) = √2 nėra lengva apskaičiuoti.

Patogu „x0“ reikšmė yra „4“, nes „4“ yra artimas „3“ ir f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jei "x = 3" ir "x0 = 4", tada Δx = 3-4 = -1. Dabar mes pradedame apskaičiuoti f išvestį. Tai reiškia, kad f '(x) = 1/2 * √x, kad f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Pakeiskite visas formulės reikšmes:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jei naudojamas skaičiuoklė, gaunama, kad √3≈1.73205 ... Tai rodo, kad ankstesnis rezultatas yra geras tikrosios vertės apytikslis.

Antrasis pratimas

Apytiksliai √10.

Sprendimas

Kaip ir anksčiau, ji yra pasirinkta kaip funkcija f (x) = √x ir šiuo atveju x = 10.

X0 reikšmė, kurią reikia pasirinkti, yra „x0 = 9“. Tada turime, kad Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ir f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Vertindami formulę jūs gaunate tai

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Naudodami skaičiuoklę, jūs gaunate √10 ≈ 3.1622776 ... Čia taip pat galite matyti, kad anksčiau buvo gautas geras apytikslis..

Trečiasis pratimas

Apytikslė ³ 10, kur ³√ reiškia kubinę šaknį.

Sprendimas

Akivaizdu, kad ši užduotis turėtų būti naudojama f (x) = ³√x, o „x“ reikšmė turi būti „10“..

Vertė, artima "10", kad jos kubo šaknis yra žinoma, yra "x0 = 8". Tada mes turime, kad Δx = 10-8 = 2 ir f (x0) = f (8) = 2. Mes taip pat turime, kad f '(x) = 1/3 * ³√x², taigi f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Pakeitus formulės duomenis, gaunama:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Skaičiuoklė sako, kad √√10 ≈ 2.15443469 ... Todėl nustatyta aproksimacija yra gera.

Ketvirtasis pratimas

Apytikslė ln (1,3), kur "ln" reiškia natūralios logaritmo funkciją.

Sprendimas

Pirmiausia pasirenkama funkcija f (x) = ln (x) ir „x“ reikšmė yra 1,3. Dabar, žinodami šiek tiek apie logaritmo funkciją, galime žinoti, kad ln (1) = 0, o taip pat „1“ yra artimas „1.3“. Todėl pasirinktas „x0 = 1“ ir taip Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Kita vertus, f '(x) = 1 / x, kad f' (1) = 1. Vertinant pagal pateiktą formulę turite:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Kai naudojate skaičiuoklį, turite ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Taigi atliktas suderinimas yra geras.

Nuorodos

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: problemų sprendimo būdas (2, Illustrated ed.). Mičiganas: „Prentice Hall“.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Mokymasis mokytis.
5. Leal, J. M., ir Viloria, N. G. (2005). Plokščios analizės geometrija. Mérida - Venesuela: Redakcija Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. „Pearson Education“.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Skaičiavimas (Devintajame leidinyje). Prentice salė.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialinis skaičiavimas su ankstyvosiomis transcendentinėmis funkcijomis mokslo ir inžinerijos srityse (Antrasis leidimas). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Dekarto plokštumos geometrija, dalis: Analitinės konikos (1907) (perspausdinti red.). Žaibo šaltinis.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. „Pearson Education“.