Kas yra vektorius ir kokios yra jo charakteristikos?

A vektoriaus tai yra kiekis arba reiškinys, turintis dvi nepriklausomas savybes: dydį ir kryptį. Šis terminas taip pat reiškia tokios sumos matematinį ar geometrinį vaizdą.

Natūralaus vektoriaus pavyzdžiai yra greitis, jėga, elektromagnetiniai laukai ir svoris. Suma arba reiškinys, kuris rodo tik dydį, be konkrečios krypties, vadinamas skaliniu.

Scalarų pavyzdžiai apima greitį, masę, elektrinį pasipriešinimą ir standžiojo disko talpą.

Vektorius galima pavaizduoti grafiškai dviem arba trimis matmenimis. Dydis rodomas kaip segmento ilgis. Kryptį rodo segmento orientacija ir rodyklė viename gale.

Pirmiau pateiktoje iliustracijoje parodyti trys vektoriai dvimatėse stačiakampėse koordinatėse (Dekarto plokštumoje) ir jų ekvivalentai poliarinėse koordinatėse.

Vektoriai fizikoje

Fizikoje, kai turite vektorių, turite atsižvelgti į du kiekius: jo kryptį ir dydį. Kiekiai, turintys tik vieną dydį, vadinami skalarais. Jei nurodoma skaliarinio kiekio kryptis, sukuriamas vektorius.

Vizualiai matote vektorius kaip rodykles, kurios yra tobula, nes rodyklė turi aiškią kryptį ir aiškų dydį (rodyklės ilgis).

Toliau pateiktame paveiksle rodyklė reiškia vektorių, kuris prasideda rodyklės (taip pat vadinamos uodega) pėdomis ir baigiasi galu.

Fizikoje paprastai paryškinta raidė yra atstovaujama vektoriui, nors ji taip pat gali būti pavaizduota kaip raidė su rodykle..

Rodyklė reiškia, kad tai ne tik skaliarinė vertė, kuri būtų atstovaujama A, bet ir kažkas su kryptimi.

Skirtumai tarp vektoriaus ir skalaro

Vertybės, kurios nėra vektoriai, yra skalarai. Pavyzdžiui, toks 500 obuolių kiekis yra skalaras, jis neturi adreso, tai tik dydis. Laikas taip pat yra skalaras, jis neturi krypties.

Tačiau greitis yra vektorius, nes jis ne tik nurodo maršruto dydį (greitį), bet ir nurodo maršruto kryptį (ir kryptį)..

Pavyzdžiui, greičio vektoriaus veikimo linija gali būti

būti 30 ° nuo horizontalios. Todėl žinome, kokia kryptimi objektas juda.

Tačiau tai vis dar nenurodo kelionės krypties, nesvarbu, ar ji nutolusi nuo ar artėja prie mūsų. Todėl taip pat nurodome kryptį, kuria vektorius veikia per rodyklę.

Jėga, pagreitis ir nuvažiuotas atstumas taip pat yra vektoriai. Pavyzdžiui, sakydamas, kad automobilis, perkeliamas 10 metrų, nenurodo, kokia kryptimi jis persikėlė. Norint visiškai apibrėžti judėjimą, taip pat būtina nurodyti judėjimo kryptį ir kryptį.

Stiprumas taip pat yra vektorius, nes jei jūs patraukiate objektą į save, jis ateina arti jūsų ir, jei stumiate objektą nuo jūsų. Taigi jėga turi kryptį ir prasmę, todėl ji yra vektorius.

Pavyzdys

Kaip vektoriaus pateiktos informacijos pavyzdžiai, turime:

Ieškokite aukso maišelio

Tarkime, kad mokytojas jums pasakys: "Aukso maišelis yra klasėje, kad jį surastumėte, perkelkite 20 metrų." Šis pareiškimas tikrai jus jus domina, tačiau deklaracijoje nėra pakankamai informacijos, kad rastumėte aukso maišelį.

Nepavyko išsamiai aprašyti perkėlimo, reikalingo aukso maišui rasti. Kita vertus, tarkime, kad jūsų mokytojas jums sako: „Auksinis krepšys yra už klasės ribų, kad būtų galima pereiti nuo klasės klasės durų 20 metrų 30 ° kryptimi į vakarus nuo šiaurės“..

Šiuo pareiškimu pateikiamas išsamus perkėlimo vektoriaus aprašymas, kuriame išvardijami dydžiai (20 metrų) ir kryptis (30 ° į vakarus nuo šiaurės), atsižvelgiant į atskaitos arba išvykimo padėtį (klasės durų centras). ).

Vektorių kiekiai nėra išsamiai aprašyti, nebent nurodyti tiek dydžiai, tiek kryptys.

Automobilio poslinkis

Kai važiuojame automobilyje, naudojame skirtingus vektorius. Šie vektoriai pasirodo kiekvieną kartą keisdami greitį.

Kai paspartiname nuvažiuoti kitą automobilį, pridedame krypties ir greičio kintamuosius, kurie sudaro naują vektorių.

Kita vertus, kai norime sumažinti greitį, mes atimame vektorius, atitinkančius minėtą lėtėjimą.

Kitaip tariant, keičiant greitį nekeisdami, keičiame vektoriaus, atsirandančio iš automobilio judėjimo, prasmę..

Atidarykite duris

Kai atidarome duris, naudojame kelis vektorius. Pirma, mes privalome tam tikra kryptimi spausdinti jėgas, kad pasuktume durų rankenėlę, tada privalome stumti duris tam tikra kryptimi, spausdindami jėgą.

Šios jėgos ir krypties vertės atitinka vektorius, naudojamus atidaryti duris. Durų uždarymo procesas sukurs naują vektorių, kuriame jo vertė bus neigiama, palyginti su tuo, kas iš pradžių buvo atidaryta..

Perkelkite langelį

Kai norime stumti labai sunkų dėžutę, privalome veikti jėga jos šoniniame paviršiuje. Ši jėga turi būti daroma viena kryptimi, kad langelis galėtų judėti.

Tokiu atveju vektorius atsiras dėl jėgos ir krypties derinio, skirto langui perkelti.

Jei jėga nenaudojama stumti dėžę, bet pakelti ją vertikaliai, atsiras naujas vektorius.

Šis vektorius susideda iš vertikalios ašies, ant kurios pakeliamas dėžė, ir jėga, skirta ją pakelti.

Perkelkite šachmatų plytelę

Kaip ir ankstesnis pavyzdys, šachmatų lustas gali būti perkeltas ant stalo paviršiaus - tam tikra kryptimi ir taikant tam tikrą jėgą - pakeisti savo poziciją lentoje, generuojant vektorių.

Jis taip pat gali būti pakeltas iš lentos, sukuriant naują vektorių vertikaliai.

Paspauskite mygtuką

Botó bus paspaudžiama tik viena kryptimi, kurią suteikia ta pati sistema, kurioje yra mygtukas.

Norint paspausti šį mygtuką, pirštu reikia taikyti jėgą. Iš šio judėjimo pratęsimo atsiras vektorius.

Žaisti biliardą

Biliardo rutulio pataikymas su mediniu atspalviu iš karto sukelia vektorių, nes jis turi dviejų dydžių poveikį: stiprumą ir kryptį.

Biliardo rutuliui bus taikoma jėga, kad ją būtų galima perkelti į tam tikrą kryptį. Biliardo rutulys ant stalo turės anksčiau nustatytą jausmą, kuris priklausys nuo žaidėjo sprendimo.

Žaislinis automobilis

Kai vaikas paima savo žaislinį automobilį ir traukia jį ant lyno arba tiesiog manipuliuoja jį rankomis, jis generuos daugybę vektorių.

Kiekvieną kartą, kai vaikas keičia greitį ar kryptį, kuria automobilis juda, jis sukurs naują vektorių.

Šiuo atveju vektoriaus kintamieji sudarytų iš energijos, kurią vaikas taiko automobiliui, ir kryptį, kuria jis nori perkelti..

Vektorių atstovavimas

Vektorių kiekius dažnai vaizduoja mastelio vektorinės diagramos.

Vektorinės diagramos vaizduoja vektorių, naudodamos rodyklę, nukreiptą į skalę tam tikra kryptimi. Tinkama vektorinė diagrama turi turėti keletą savybių:

• Skalė aiškiai nurodyta.
• Vektorinė rodyklė yra traukiama (su rodykle) tam tikra kryptimi. Vektorinė rodyklė turi galvą ir uodegą.
• Vektoriaus dydis ir kryptis yra aiškiai pažymėtos.

Vektoriaus adresas

Vektoriai gali būti nukreipti į rytus, vakarus, pietus ir šiaurę. Tačiau kai kurie vektoriai nukreipiami į šiaurės rytus (45 ° kampu). Todėl akivaizdu, kad reikia nustatyti vektoriaus, kuris nepriklauso nuo šiaurės, pietų, rytų ar vakarų, kryptį.

Bet kokio vektoriaus kryptį galima apibūdinti įvairiais būdais, tačiau tik du iš jų bus paaiškinti toliau.

1-vektoriaus kryptis dažnai išreiškiama vektoriaus sukimosi kampu aplink jo „uodegą“ į rytus, vakarus, šiaurę ar pietus.

Pavyzdžiui, galima teigti, kad vektoriaus adresas yra 40 ° į šiaurę nuo vakarų (tai reiškia, kad vektorius, nukreiptas į vakarus, pasuktas 40 ° į šiaurę) arba kad jo kryptis yra 65 °. į rytus nuo pietų (tai reiškia, kad į pietus nukreiptas vektorius sukasi 65 ° į rytus).

2-vektoriaus kryptis dažnai išreiškiama kaip apsisukimo kampas vektoriaus prieš laikrodžio rodyklę. Naudojant šią konvenciją, vektorius su 30 ° kryptimi yra vektorius, pasuktas 30 ° prieš laikrodžio rodyklę į rytus.

Vektorius, turintis 160 ° kryptį, yra vektorius, pasuktas 160 ° kampu prieš laikrodžio rodyklę į rytus. Vektorius, turintis 270 ° kryptį, yra vektorius, pasuktas 270 ° prieš laikrodžio rodyklę rytui.

Vektoriaus dydis

Skaičiuojamos vektorinės diagramos vektoriaus dydį rodo rodyklės ilgis. Rodyklė traukiama tiksliai pagal pasirinktą skalę.

Pavyzdžiui, jei norite piešti vektorių, kurio dydis yra 20 metrų, galite pasirinkti kaip skalę 1 cm = 5 metrai ir piešti 4 cm ilgio rodyklę.

Naudojant tą pačią skalę (1 cm = 5 metrai), 15 metrų atstumo vektorius bus vaizduojamas 3 cm ilgio vektoriaus rodykle.

Tokiu pat būdu, 25 metrų poslinkio vektorius yra 5 cm ilgio rodyklė. Galiausiai, 18 metrų atstumas yra 3,6 cm ilgio rodyklė.

Kitos vektorių charakteristikos

Lygybė: sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei jie turi tokį pat mastą ir kryptį. Taip pat jie bus lygūs, jei jų koordinatės yra lygios.

Protestas: du vektoriai yra priešingi, jei jie turi tą patį dydį, bet priešinga kryptimi.

Paralelės: du vektoriai yra lygiagretūs, jei jie turi tą pačią kryptį, bet nebūtinai tokį patį dydį, arba priešparaleliniai, jei jie turi priešingą kryptį, bet nebūtinai tokio paties dydžio.

Vektorinis vienetas: vieneto vektorius yra bet kuris vektorius, kurio ilgis yra vienas.

Vektorius nulis: nulis vektorius yra nulis ilgio vektorius. Skirtingai nei bet kuris kitas vektorius, jis turi savavališką arba neapibrėžtą kryptį ir negali būti normalizuotas

Nuorodos

1. Jong IC, Rogers BG. Inžinerinė mechanika: statika (1991). „Saunders College“ leidyba.
2. Ito K. Enciklopedinis matematikos žodynas (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Matematikos enciklopedija (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). „Sunnyvale“: „OnLine Dynamics“.
5. Lang S. Įvadas į linijinį algebrą (1986). Springer.
6. Niku S. inžinerijos principai ne inžinierių kasdieniame gyvenime (2016). „Morgan & Claypool“.
7. Pedoe D. Geometrija: išsamus kursas (1988). Doveris.