Kas yra trigonometriniai ribos? (su išspręstomis pratybomis)

The trigonometrinės ribos jos yra funkcijų ribos, kad šios funkcijos yra suformuotos trigonometrinėmis funkcijomis.

Turi būti žinomi du apibrėžimai, kad būtų galima suprasti, kaip atliekamas trigonometrinės ribos apskaičiavimas.

Šie apibrėžimai yra:

- Funkcijos „f“ riba, kai „x“ linkusi „b“: ji apskaičiuojama pagal vertę, kuriai f (x) artėja prie „x“, „b“, nesiekiant „b“.

- Trigonometrinės funkcijos: trigonometrinės funkcijos yra sinusinės, kosininės ir liestinės funkcijos, žymimos sin (x), cos (x) ir tan (x), atitinkamai.

Kitos trigonometrinės funkcijos gaunamos iš trijų pirmiau minėtų funkcijų.

Funkcijų ribos

Norėdami paaiškinti funkcijos ribos sąvoką, bus pateikti keli pavyzdžiai su paprastomis funkcijomis.

- F (x) = 3 riba, kai "x" linkęs "8", yra lygi "3", nes funkcija visada yra pastovi. Nesvarbu, kiek „x“ yra verta, f (x) vertė visada bus „3“..

- F (x) = x-2 riba, kai "x" yra "6", yra "4". Nuo tada, kai „x“ artėja prie „6“, „x-2“ artėja prie „6-2 = 4“.

- G (x) = x² riba, kai "x" linksta "3", yra lygi 9, nes kai "x" artėja prie "3", "x²" artėja prie "3² = 9".

Kaip matyti iš ankstesnių pavyzdžių, skaičiuojant ribą, vertinama vertė, kuriai „x“ yra funkcija, ir rezultatas bus ribos vertė, nors tai tinka tik tęstinėms funkcijoms.

Ar yra sudėtingesnių apribojimų?

Atsakymas yra „taip“. Pirmiau pateikti pavyzdžiai yra paprasčiausi apribojimų pavyzdžiai. Apskaičiuotose knygose pagrindiniai apribojimai yra tie, kurie sukuria 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ir (∞) tipo neapibrėžtumą ^ 0.

Šios išraiškos vadinamos neapibrėžtimis, nes jos yra išraiškos, kurios matematiškai neturi prasmės.

Be to, priklausomai nuo funkcijų, susijusių su pradine riba, rezultatas, gautas sprendžiant neapibrėžtumus, kiekvienu atveju gali skirtis.

Paprastų trigonometrinių ribų pavyzdžiai

Norint išspręsti ribas, visada naudinga žinoti susijusių funkcijų grafikus. Žemiau pateikiamos sinusinės, kosininės ir liestinės funkcijos.

Kai kurie paprastų trigonometrinių ribų pavyzdžiai:

- Apskaičiuokite sin (x) ribą, kai „x“ linksta „0“.

Žiūrint grafiką matote, kad jei „x“ artėja prie „0“ (tiek kairėje, tiek dešinėje), tuomet sinusinė diagrama taip pat artėja prie „0“. Todėl sin (x) riba, kai „x“ linkusi „0“, yra „0“.

- Apskaičiuokite cos (x) ribą, kai „x“ linkusi „0“.

Stebint kosinuso grafiką, matyti, kad kai "x" yra artimas "0", tada kosininis grafikas yra artimas "1". Tai reiškia, kad „cos“ (x) riba, kai „x“ linkusi „0“, yra lygi „1“.

Galima nustatyti ribą (būti skaičiumi), kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, tačiau taip pat gali atsitikti taip, kad jos nėra, kaip parodyta sekančiame pavyzdyje.

- Tan (x) riba, kai "x" linkęs "Π / 2" kairėje, yra lygi "+ ∞", kaip matyti grafike. Kita vertus, „tan“ (x) riba, kai „x“ dešinėje linkusi „-Π / 2“, yra lygi „-∞“.

Trigonometrinių ribų tapatybės

Du labai naudingi identitetai apskaičiuojant trigonometrines ribas:

- "Sin" (x) / x "riba, kai" x "linkusi" 0 ", yra lygi" 1 ".

- "(1-cos (x)) / x" riba, kai "x" linkusi "0", yra lygi "0".

Šie identitetai dažnai naudojami, kai turite tam tikrą neapibrėžtumą.

Išspręstos pratybos

Išsiaiškinkite šias ribas, naudodami aukščiau aprašytus identitetus.

- Apskaičiuokite "f (x) = sin (3x) / x" ribą, kai "x" linkusi "0".

Jei funkcija „f“ vertinama „0“, bus gautas 0/0 tipo neapibrėžtumas. Todėl mes turime stengtis išspręsti šį neapibrėžtumą naudodami apibūdintus identitetus.

Vienintelis skirtumas tarp šios ribos ir tapatybės yra skaičius, kuris pasirodo sinusinėje funkcijoje. Norint taikyti tapatybę, funkcija "f (x)" turi būti perrašyta taip: "3 * (sin (3x) / 3x)". Dabar ir sinuso argumentas, ir vardiklis yra lygūs.

Taigi, kai "x" linkęs "0", naudojant tapatybę gaunami "3 * 1 = 3". Todėl f (x) riba, kai "x" linkusi "0", yra lygi "3".

- Apskaičiuokite "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" ribą, kai "x" linkusi "0".

Kai „x = 0“ yra pakeista g (x), gaunamas ∞-∞ tipo neapibrėžtumas. Norint ją išspręsti, frakcijos yra atimamos, todėl gaunamas rezultatas "(1-cos (x)) / x".

Dabar, kai taikomas antrasis trigonometrinis tapatumas, mes turime ribą g (x), kai "x" linkęs "0" yra lygus 0.

- Apskaičiuokite "h (x) = 4tan (5x) / 5x" ribą, kai "x" linkusi "0".

Vėlgi, jei vertinate h (x) į "0", gausite 0/0 tipo neapibrėžtumą.

Rašymo perrašymas (5x) kaip sin (5x) / cos (5x) rezultatai, kad h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Naudojant 4 / cos (x) ribą, kai "x" linkęs "0" yra lygus "4/1 = 4", ir gaunamas pirmasis trigonometrinis tapatumas, kad h (x) riba, kai "x" yra "0" yra lygus "1 * 4 = 4".

Stebėjimas

Trigonometrines ribas ne visada lengva išspręsti. Šiame straipsnyje buvo pateikti tik pagrindiniai pavyzdžiai.

Nuorodos

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: problemų sprendimo būdas (2, Illustrated ed.). Mičiganas: „Prentice Hall“.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Mokymasis mokytis.
5. Leal, J. M., ir Viloria, N. G. (2005). Plokščios analizės geometrija. Mérida - Venesuela: Redakcija Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. „Pearson Education“.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Skaičiavimas (Devintajame leidinyje). Prentice salė.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialinis skaičiavimas su ankstyvosiomis transcendentinėmis funkcijomis mokslo ir inžinerijos srityse (Antrasis leidimas). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Dekarto plokštumos geometrija, dalis: Analitinės konikos (1907) (perspausdinti red.). Žaibo šaltinis.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. „Pearson Education“.