Daugkartiniai principų skaičiavimo metodai ir pavyzdžiai



The dauginamasis principas yra technika, naudojama sprendžiant skaičiavimo problemas, kad rastų sprendimą, nereikalaujant jo elementų. Jis taip pat žinomas kaip pagrindinis kombinatorinės analizės principas; yra pagrįstas sekančiu dauginimu, siekiant nustatyti, kaip įvykis gali įvykti.

Šis principas nustato, kad, jei priimamas sprendimas (d1) gali būti imtasi n būdu ir kitokiu sprendimu (d2) gali būti imtasi m būdais - bendras sprendimų priėmimo būdų skaičius1 ir d2 bus lygus dauginimui n * m. Pagal šį principą kiekvienas sprendimas priimamas vienas po kito: būdų skaičius = N1 * N2... * Nx būdais.

Indeksas

  • 1 Pavyzdžiai
    • 1.1 1 pavyzdys
    • 1.2 2 pavyzdys
  • 2 Skaičiavimo metodai
    • 2.1 Papildymo principas
    • 2.2 Permutacijos principas
    • 2.3 Derinimo principas
  • 3 Išspręstos pratybos
    • 3.1 1 užduotis
    • 3.2 2 pratimas
  • 4 Nuorodos

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Paula planuoja aplankyti filmus su savo draugais ir pasirinkti drabužius, kuriuos ji dėvės, atskiriu 3 palaidines ir 2 sijonus. Kiek būdų Paula gali apsirengti??

Sprendimas

Šiuo atveju Paula turi priimti du sprendimus:

d1 = Pasirinkite tarp 3 palaidinukės = n

d2 = Pasirinkite tarp 2 sijonų = m

Tokiu būdu Paula turi n * m sprendimus priimti ar skirtingus padažu.

n * m = 3* 2 = 6 sprendimai.

Multiplikacinis principas kilęs iš medžio diagramos technikos, kuri yra schema, susiejanti visus galimus rezultatus, kad kiekvienas iš jų galėtų būti ribotas kartų skaičius.

2 pavyzdys

Mario buvo labai ištroškęs, todėl nuėjo į kepyklą, kad įsigytų sulčių. Luisas jam atsako ir pasakoja, kad jis turi du dydžius: didelius ir mažus; ir keturių skonių: obuolių, apelsinų, citrinų ir vynuogių. Kiek būdų Mario gali pasirinkti sultis?

Sprendimas

Diagramoje galima pastebėti, kad Mario turi 8 skirtingus būdus pasirinkti sultis ir kad, kaip ir dauginamuoju principu, šis rezultatas gaunamas dauginant n.*m. Vienintelis skirtumas yra tas, kad per šią diagramą galite žinoti, kaip yra būdai, kaip Mario pasirenka sultis.

Kita vertus, kai galimų rezultatų skaičius yra labai didelis, praktiškiau naudoti dauginamąjį principą.

Skaičiavimo metodai

Skaičiavimo metodai yra metodai, naudojami tiesioginiam skaičiui sudaryti, ir todėl žino galimų priemonių, kurias gali turėti tam tikro rinkinio elementai, skaičių. Šie metodai yra pagrįsti keliais principais:

Papildymo principas

Šis principas teigia, kad tuo atveju, jei tuo pačiu metu negali įvykti du įvykiai m ir n, tai, kaip gali įvykti pirmasis ar antrasis įvykis, bus m + n suma:

Formų skaičius = m + n ... + x skirtingos formos.

Pavyzdys

Antonio nori išvykti į kelionę, bet nenusprendžia, į kurią vietą; Pietų turizmo agentūroje jie siūlo Jums reklamą keliauti į Niujorką arba Las Vegasą, o Rytų turizmo agentūra rekomenduoja keliauti į Prancūziją, Italiją ar Ispaniją. Kiek skirtingų kelionių alternatyvų siūlo „Antonio“?

Sprendimas

Su Pietų turizmo agentūra Antonio turi 2 alternatyvas (Niujorkas arba Las Vegasas), o Rytų turizmo agentūroje - 3 variantai (Prancūzija, Italija arba Ispanija). Įvairių alternatyvų skaičius yra:

Alternatyvų skaičius = m + n = 2 + 3 = 5 alternatyvos.

Permutacijos principas

Kalbama apie visų ar kai kurių sudedamųjų dalių užsakymą, kad būtų lengviau suskaičiuoti visus galimus susitarimus, kuriuos galima atlikti su elementais.

N skirtingų elementų permutacijų skaičius, paimtas iš karto, yra:

nPn = n!

Pavyzdys

Keturi draugai nori fotografuoti ir nori sužinoti, kiek skirtingų formų galima užsisakyti.

Sprendimas

Jūs norite sužinoti visus galimus būdus, kuriais galima priskirti 4 žmones fotografuoti. Taigi, turite:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 skirtingi būdai.

Jei n galimų elementų permutacijų skaičius yra paimtas iš r elementų sudarytų rinkinių dalių, jis yra pateikiamas kaip:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Pavyzdys

Klasėje yra 10 vietų. Jei klasėje dalyvauja 4 studentai, kiek įvairiais būdais studentai gali užimti pozicijas?

Sprendimas

Bendras kėdių rinkinio skaičius yra 10, iš kurių tik 4 bus naudojamos, o formulė taikoma nustatant permutacijų skaičių:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 būdų užpildyti žinutes.

Yra atvejų, kai kai kurie galimi rinkinio elementai kartojami (jie yra tie patys). Norėdami apskaičiuoti susitarimų skaičių, kai visi elementai iš karto yra naudojami, naudojama tokia formulė:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Pavyzdys

Kiek skirtingų keturių raidžių žodžių galima sudaryti iš žodžio "vilkas"?

Sprendimas

Šiuo atveju mes turime 4 elementus (laiškus), iš kurių du iš jų yra lygiai tokie patys. Taikant nurodytą formulę, žinome, kiek skirtingų žodžių yra:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 skirtingų žodžių.

Derinimo principas

Tai yra visų ar kai kurių elementų, sudarančių rinkinį, nustatymas be konkretaus užsakymo. Pvz., Jei turite XYZ masyvą, jis bus identiškas ZXY, YZX, ZYX matricoms, be kita ko; tai yra todėl, kad, nepaisant to, kad jie nėra vienodos tvarkos, kiekvieno susitarimo elementai yra vienodi.

Kai imami kai kurie rinkinio (n) elementai (r), derinimo principas pateikiamas pagal šią formulę:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Pavyzdys

Parduotuvėje jie parduoda 5 skirtingus šokolado tipus. Kiek galite pasirinkti 4 šokoladus?

Sprendimas

Tokiu atveju turite pasirinkti 4 saldainius iš 5 parduotuvėje parduodamų rūšių. Jų pasirinkimo tvarka nesvarbu, be to, šokolado tipą galima pasirinkti daugiau nei du kartus. Taikant formulę turite:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 skirtingi būdai pasirinkti 4 šokoladus.

Kai imami visi rinkinio (n) elementai (r), derinimo principas pateikiamas pagal šią formulę:

nCn = n!

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Turite beisbolo komandą su 14 narių. Kiek būdų galite priskirti 5 pozicijas žaidimui?

Sprendimas

Rinkinį sudaro 14 elementų ir norite priskirti 5 konkrečias pozicijas; tai reiškia, kad tai svarbu. Taikoma permutacijos formulė, kai n prieinami elementai yra paimti iš rinkinio, kurį sudaro r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Kur n = 14 ir r = 5. Jis yra pakeistas formule:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 būdų priskirti 9 žaidimo pozicijas.

2 pratimas

Jei 9 narių šeima išvyksta į kelionę ir perka iš eilės einančių bilietų, kiek skirtingų būdų jie gali sėdėti?

Sprendimas

Apie 9 elementai užims 9 vietas iš eilės.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 skirtingi sėdėjimo būdai.

Nuorodos

  1. Hopkins, B. (2009). Ištekliai diskretiškos matematikos mokymui: klasių projektai, istorijos moduliai ir straipsniai.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretinė matematika „Pearson Education“,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Baigtinis ir diskretiškas matematikos problemų sprendimas. Mokslinių tyrimų ir švietimo asociacijos redaktoriai.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskretinė matematika Politèc. Katalonijos.
  5. Steiner, E. (2005). Taikomųjų mokslų matematika. Reverte.