Minimalus kvadratinis metodas, išspręstos pratybos ir tai, ką jis atlieka



Metodas mažiausiai kvadratų yra viena iš svarbiausių programų suderinimo funkcijų. Idėja yra surasti tokią kreivę, kad, atsižvelgiant į užsakytų porų rinkinį, ši funkcija geriau suderintų duomenis. Ši funkcija gali būti linija, kvadratinė kreivė, kubinė kreivė ir kt..

Šio metodo idėja yra sumažinti koordinačių skirtumų kvadratų sumą (Y komponentas), tarp pasirinktos funkcijos sukurtų taškų ir duomenų rinkiniui priklausančių taškų.

Indeksas

  • 1 mažiausiai kvadratų metodas
  • 2 Išspręstos pratybos
    • 2.1 1 užduotis
    • 2.2 2 pratimas
  • 3 Kas tai yra??
  • 4 Nuorodos

Mažiausiai kvadratų metodas

Prieš suteikiant metodą, pirmiausia turime aiškiai suprasti, ką reiškia „geresnis požiūris“. Tarkime, kad ieškome eilutės y = b + mx, kuri geriausiai atspindi n taškų rinkinį, ty (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Kaip parodyta ankstesniame paveiksle, jei kintamieji x ir y buvo susiję su linija y = b + mx, tada x = x1 atitinkama y vertė būtų b + mx1. Tačiau ši vertė skiriasi nuo tikrosios y vertės, kuri yra y = y1.

Prisiminkite, kad plokštumoje atstumas tarp dviejų taškų gaunamas pagal šią formulę:

Turint tai omenyje, norint nustatyti, kaip pasirinkti liniją y = b + mx, kuri geriausiai atitinka nurodytus duomenis, tikslinga naudoti linijos pasirinkimą, kuris minimalizuoja atstumų tarp taškų kvadratų sumą kaip kriterijus ir tiesiai.

Kadangi atstumas tarp taškų (x1, y1) ir (x1, b + mx1) yra y1- (b + mx1), mūsų problema sumažinama, kad būtų rasti skaičiai m ir b, kad ši suma būtų minimali:

Linija, atitinkanti šią sąlygą, yra žinoma kaip „mažiausių kvadratų eilutės apytikslis taškais (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)“.

Kai problema bus išspręsta, turime pasirinkti būdą, kaip rasti mažiausių kvadratų aproksimaciją. Jei taškai (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) visi yra eilutėje y = mx + b, mes turėtume būti bendri ir:

Šioje frazėje:

Galiausiai, jei taškai nėra kolinijiniai, tada y-Au = 0 ir problema gali būti išversta į vektoriaus suradimą arba taip, kad euklido norma yra minimali.

Rasti minimalų vektorių nėra taip sunku, kaip manote. Kadangi A yra matrica nx2 ir u yra 2 × 1 matrica, mes turime, kad vektorius Au yra vektorius Rn ir jis priklauso A vaizdui, kuris yra R subspacen kurių dydis ne didesnis kaip du.

Darysime prielaidą, kad n = 3 parodyti, kuri yra procedūra, kurios reikia laikytis. Jei n = 3, A vaizdas bus plokštuma arba linija, kuri eina per kilmę.

Leiskite v mažinti vektorių. Paveiksle mes pastebime, kad y-Au yra sumažintas, kai jis yra stačiakampis su A. atvaizdu. Tai yra, jei v yra minimalizuojantis vektorius, tada atsitinka, kad:

Tada mes galime tai išreikšti taip:

Tai gali įvykti tik tada, jei:

Galiausiai, išvalius v, turime:

Tai galima padaryti nuo AtA yra invertuojamas tol, kol n taškai, pateikti kaip duomenys, nėra lygiaverčiai.

Dabar, jei vietoj to, kad ieškotumėte linijos, norime rasti parabolą (kurio išraiška būtų forma y = a + bx + cx2) tai buvo geresnis n duomenų taškų derinimas, procedūra būtų tokia, kaip aprašyta toliau.

Jei n duomenų taškai buvo minėtame parabolyje, jis turėtų:

Tada:

Panašiai galime rašyti y = Au. Jei visi taškai nėra paraboloje, mes turime, kad y-Au skiriasi nuo nulio bet kuriam vektoriui u, o mūsų problema yra dar kartą: rasti vektorių u R3, kad jo norma || y-Au || būti kuo mažesni.

Pakartodami ankstesnę procedūrą, galime atvykti į ieškomą vektorių:

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Raskite liniją, geriausiai atitinkančią punktus (1,4), (-2,5), (3, -1) ir (4,1).

Sprendimas

Turime:

Tada:

Todėl darome išvadą, kad taškai geriausiai atitinka eilutė:

2 pratimas

Tarkime, kad objektas nukrenta nuo 200 m aukščio. Sumažėjus imamasi šių priemonių:

Mes žinome, kad minėto objekto aukštis, praėjus tam laikui t, yra:

Jei norime gauti g vertę, mes galime rasti parabolą, kuri yra geriau suderinta su penkiais lentelėje pateiktais taškais, todėl mes turėtume tokį koeficientą, kuris pridedamas prie2 jei matavimai bus tikslūs, tai bus pagrįstas (-1/2) g.

Turime:

Ir tada:

Taigi duomenų taškai koreguojami tokia kvadratine išraiška:

Tada turite:

Tai yra vertė, kuri yra pakankamai artima teisingam, kuris yra g = 9,81 m / s2. Norint tiksliau suderinti g, reikėtų pradėti nuo tikslesnių pastabų.

Kas tai yra??

Problemose, kylančiose gamtos ar socialiniuose moksluose, patogu rašyti santykius, kurie atsiranda tarp skirtingų kintamųjų, naudojant tam tikrą matematinę išraišką.

Pavyzdžiui, ekonomikoje galime susieti sąnaudas (C), pajamas (I) ir pelną (U) naudojant paprastą formulę:

Fizikoje galime susieti gravitacijos sukeltą pagreitį, objekto kritimo laiką ir įstatymo aukštį:

Ankstesnėje frazėje so yra pradinis šio objekto aukštis ir vo yra jūsų pradinis greitis.

Tačiau tokių formulių paieška nėra paprasta užduotis; paprastai profesionalas turi dirbti su daugeliu duomenų ir pakartotinai atlikti kelis eksperimentus (siekdamas patikrinti, ar gauti rezultatai yra pastovūs), kad rastų ryšius tarp skirtingų duomenų.

Paprastas būdas tai pasiekti - pateikti plokštumoje gautus duomenis kaip taškus ir ieškoti nuolatinės funkcijos, kuri optimaliai priartėtų prie šių taškų.

Vienas iš būdų, kaip rasti funkciją, kuri „geriausiai atitinka“ nurodytus duomenis yra mažiausių kvadratų metodas.

Be to, kaip matėme ir pratybose, dėl šio metodo mes galime gauti beveik artimus fizinėms konstantoms.

Nuorodos

  1. Charles W Curtis linijinė algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementarumo teorijos su stochastiniais procesais. „Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Skaitinė analizė (7-oji). Thompson mokymasis.
  4. Stanley I. Grossman. Linijinės algebros taikymas. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Tiesinė algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO