Homotetinės savybės, tipai ir pavyzdžiai



The homotecia yra geometrinis pokytis plokštumoje, kur iš fiksuoto taško, vadinamo centru (O), atstumai padauginami iš bendro koeficiento. Tokiu būdu kiekvienas taškas P atitinka kitą transformacijos tašką P ', ir jie yra suderinti su tašku O.

Tada homotetija yra dviejų geometrinių figūrų atitiktis, kur transformuoti taškai yra vadinami homotetiniais, ir jie yra suderinti su fiksuotu tašku ir segmentais, lygiagrečiais vienas kitam.

Indeksas

  • 1 Homotecia
  • 2 Ypatybės
  • 3 tipai
    • 3.1 Tiesioginė homotetija
    • 3.2 Grįžtamoji homotetija
  • 4 Sudėtis
  • 5 Pavyzdžiai
    • 5.1 Pirmasis pavyzdys
    • 5.2 Antrasis pavyzdys
  • 6 Nuorodos

Homotetija

Homotetija yra transformacija, neturinti vienodų vaizdų, nes nuo skaičiaus bus gautas vienas ar daugiau didesnio ar mažesnio skaičiaus, nei pirminis skaičius; tai yra, kad homothety transformuoja daugiakampį į kitą panašų.

Kad homotetija būtų įvykdyta, jie turi atitikti taškus ir tiesiai tiesiai, kad homologinių taškų poros būtų suderintos su trečiuoju fiksuotu tašku, kuris yra homothety centras..

Lygiai taip pat turi būti lygiagrečios linijų poros. Tokių segmentų santykis yra konstanta, vadinama homotetiniu santykiu (k); tokiu būdu, kad homothety galėtų būti apibrėžiamas kaip:

Kad šis transformacijos tipas prasidėtų pasirinkdami savavališką tašką, kuris bus homotetijos centras.

Nuo to momento kiekvienos transformuotinos figūros viršūnės sudaromos linijos segmentai. Skalė, kurioje atliekamas naujos figūros atgaminimas, pateikiamas dėl homotetijos (k)..

Savybės

Viena iš pagrindinių homothety savybių yra ta, kad dėl homotetikos (k) visi homotetiniai skaičiai yra panašūs. Tarp kitų neįvykdytų savybių yra šios:

- Homotetijos centras (O) yra vienintelis dvigubas taškas ir jis transformuojasi į save; tai yra, ji nesikeičia.

- Linijos, einančios per centrą, transformuojasi save (jos yra dvigubos), tačiau taškai, kurie jį sudaro, nėra dvigubi.

- Linijos, kurios nepraeina per centrą, transformuojamos į lygiagrečias linijas; tokiu būdu homotetijos kampai lieka tie patys.

- Segmento vaizdas iš centrinio O homotetijos ir santykio k yra segmentas, kuris yra lygiagretus šiam ir yra k kartus didesnis už jo ilgį. Pavyzdžiui, kaip matyti iš šio paveikslėlio, segmentas AB pagal homotetinį rezultatą sukurs kitą segmentą A'B ', todėl AB bus lygiagreti A'B' ir k bus:

- Homotetiniai kampai yra vienodi; tai yra, jie turi tą pačią priemonę. Todėl kampo vaizdas yra kampas, turintis tą pačią amplitudę.

Kita vertus, homothety skiriasi priklausomai nuo jos santykio (k) vertės ir gali pasireikšti šie atvejai:

- Jei konstanta k = 1, visi taškai yra fiksuoti, nes jie transformuojasi. Taigi homotetinis skaičius sutampa su originalu ir transformacija vadinama tapatybės funkcija.

- Jei k ≠ 1, vienintelis fiksuotas taškas bus homothety centras (O).

- Jei k = -1, homothety tampa centrine simetrija (C); tai reiškia, kad sukimas aplink C bus 180 laipsnių kampuo.

- Jei k> 1, transformuoto skaičiaus dydis bus didesnis nei originalo dydis.

- Taip 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Taip -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Jei k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Tipai

Homotetą taip pat galima suskirstyti į dvi rūšis, priklausomai nuo jos santykio (k) vertės:

Tiesioginė homotetija

Taip atsitinka, jei konstanta k> 0; tai yra, homotetiniai taškai yra toje pačioje pusėje centro atžvilgiu:

Proporcingumo faktorius ar panašumo santykis tarp tiesioginių homotetinių skaičių visada bus teigiamas.

Atvirkštinis homotetinis

Taip atsitinka, jei konstanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Proporcingumo faktorius ar panašumo santykis tarp homotetinių atvirkštinių skaičių visada bus neigiamas.

Sudėtis

Kai kelis judesius vyksta nuosekliai, kol gaunamas skaičius, lygus originalui, vyksta judesių sudėtis. Kelių judėjimų sudėtis taip pat yra judėjimas.

Dviejų homotekijų sudėtis lemia naują homotekiją; tai yra, mes turime homotetinį produktą, kuriame centras bus suderintas su dviejų originalių transformacijų centru, o santykis (k) yra dviejų priežasčių rezultatas.

Taigi, dviejų H homotheces sudėtyje1(Or1, k1) ir H2(Or2, k2), padauginkite savo priežastis: k1 x k2 = 1 sukels homotetinį santykį k3 = K1 x k2. Šio naujo homothety centras (O3) bus išdėstyti tiesiai tiesiai1 O2.

Homotetija atitinka vienodo ir negrįžtamo pokyčio; jei bus naudojamos dvi homotheces, turinčios tą patį centrą ir santykį, bet su kitu ženklu, bus gautas originalus skaičius.

Pavyzdžiai

Pirmasis pavyzdys

Taikykite homotetą tam tikram centriniam daugiakampiui (O), kuris yra 5 cm nuo A taško ir kurio santykis yra k = 0,7.

Sprendimas

Bet kuris taškas yra pasirinktas kaip homotetijos centras, ir iš šio spindulio braižomi paveikslo viršūnės:

Atstumas nuo centro (O) iki taško A yra OA = 5; su tuo jūs galite nustatyti vieno iš homotetinių taškų (OA) atstumą, žinodami, kad k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Procesą galima atlikti kiekvienam viršūnės taškui, taip pat galite piešti homotetinį poligoną, prisimindami, kad abiejuose daugiakampiuose yra lygiagrečios pusės:

Galiausiai transformacija atrodo taip:

Antrasis pavyzdys

Taikyti homotetą tam tikram centriniam daugiakampiui (O), esantį 8,5 cm atstumu nuo C taško ir kurio y santykis k = -2.

Sprendimas

Atstumas nuo centro (O) iki C taško yra OC = 8,5; su šiais duomenimis galima nustatyti vieno iš homotetinių taškų (OC) atstumą, žinant, kad k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Nubrėžę transformuoto poligono viršūnių segmentus, turime, kad pradiniai taškai ir jų homotetika yra priešingose ​​centrų atžvilgiu:

Nuorodos

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Techninis brėžinys: užrašų knygelė.
  2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinitetas, homologija ir homotetija.
  3. Baer, ​​R. (2012). Linijinė algebra ir projektinė geometrija. Kurjerių korporacija.
  4. Hebert, Y. (1980). Bendra matematika, tikimybės ir statistika.
  5. Meserve, B. E. (2014). Pagrindinės geometrijos sąvokos. Kurjerių korporacija.
  6. Nachbin, L. (1980). Įvadas į algebrą. Reverte.