Faktorizacijos metodai ir pavyzdžiai

The faktorizacija yra metodas, per kurį polinomas išreiškiamas dauginant veiksnius, kurie gali būti skaičiai, raidės arba abu. Norint faktorizuoti terminams būdingus veiksnius yra sugrupuoti ir tokiu būdu polinomas suskaidomas į keletą polinomų.

Taigi, kai veiksniai dauginasi, rezultatas yra originalus polinomas. Faktoringas yra labai naudingas metodas, kai turite algebrinių išraiškų, nes jis gali būti konvertuojamas į kelių paprastų terminų dauginimą; Pavyzdžiui: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Yra atvejų, kai polinomas negali būti įvertintas, nes nėra bendrų veiksnių tarp jo terminų; tokiu būdu šios algebrinės išraiškos skirstomos tik tarp jų ir 1. Pavyzdžiui: x + y + z.

Algebrinės išraiškos atveju bendras veiksnys yra didžiausias bendrų terminų, sudarančių jį, daliklis.

Indeksas

• 1 Faktoringo metodai
  • 1.1 Faktoringas pagal bendrą veiksnį
  • 1.2 1 pavyzdys
  • 1.3 2 pavyzdys
  • 1.4 Faktoringas grupuojant
  • 1.5 1 pavyzdys
  • 1.6 Faktoringas atliekant patikrinimą
  • 1.7 1 pavyzdys
  • 1.8 2 pavyzdys
  • 1.9 Faktoringas su puikiais produktais
  • 1.10 1 pavyzdys
  • 1.11 2 pavyzdys
  • 1.12 3 pavyzdys
  • 1.13 Faktoringas su Ruffini taisykle
  • 1.14 1 pavyzdys
• 2 Nuorodos

Faktoringo metodai

Yra keletas faktoringo metodų, kurie taikomi atsižvelgiant į atvejį. Kai kurie iš jų yra šie:

Faktoringas pagal bendrą veiksnį

Šiuo metodu nustatomi bendrieji veiksniai; tai yra tie, kurie pakartojami išraiškos sąlygomis. Tada taikoma paskirstymo nuosavybė, pašalinamas didžiausias bendras daliklis ir baigiamas faktorizavimas.

Kitaip tariant, yra nustatytas bendras išraiškos veiksnys ir kiekvienas terminas yra padalintas tarp jo; gauti terminai bus dauginami iš didžiausio bendro veiksnio, išreiškiančio faktorizaciją.

1 pavyzdys

Faktorius (b²x) + (b²y).

Sprendimas

Pirma, yra bendras kiekvieno termino veiksnys, kuris šiuo atveju yra b², ir tada terminai yra suskirstyti į bendrą veiksnį taip:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Išreikšta faktorizacija, bendrąjį veiksnį padauginus iš gautų terminų:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

2 pavyzdys

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

Sprendimas

Šiuo atveju mes turime du veiksnius, kurie kartojami kiekviename terminui, kuris yra "a" ir "b", ir kurios yra pakeltos iki galios. Norint juos įvertinti, pirmiausia abu terminai suskirstomi į jų ilgą formą:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Galima pastebėti, kad faktorius „a“ kartojamas tik vieną kartą per antrąjį terminą, o faktorius „b“ kartojamas du kartus; taigi per pirmąjį terminą yra tik 2, veiksnys „a“ ir „b“; antrajame etape yra tik 3.

Todėl rašome, kiek kartų kartojamas „a“ ir „b“, ir padauginami iš veiksnių, kurie liko po kiekvieno termino, kaip matyti paveikslėlyje:

Faktorizacija pagal grupavimą

Kadangi ne visais atvejais yra aiškiai išreikštas didžiausias bendras polinomo daliklis, būtina atlikti kitus veiksmus, kad būtų galima perrašyti polinomą ir tokiu būdu faktorių..

Vienas iš šių žingsnių yra suskirstyti polinomo terminus į kelias grupes ir tada naudoti bendrą faktoriaus metodą.

1 pavyzdys

Faktorius ac + bc + ad + bd.

Sprendimas

Yra 4 veiksniai, iš kurių du yra bendri: pirmajame žodyje jis yra „c“, o antrajame - „d“. Tokiu būdu abu terminai yra sugrupuoti ir atskirti:

(ac + bc) + (skelbimas + bd).

Dabar galima taikyti bendrąjį faktoriaus metodą, padalijant kiekvieną terminą bendru veiksniu ir po to dauginant šį bendrąjį veiksnį pagal gautus terminus:

(ac + bc) / c = a + b

(skelbimas + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Dabar jūs gaunate abiejų terminų binomiją. Tai lemia dauginimas iš likusių veiksnių; tokiu būdu jūs turite:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizacija atliekant patikrinimą

Šis metodas naudojamas kvadratinių polinomų, taip pat vadinamų trinominiais, nustatymui; tai yra tie, kurie yra suskirstyti į kirvį² ± bx + c, kai "a" vertė skiriasi nuo 1. Šis metodas taip pat naudojamas, kai trinomas yra x forma² ± bx + c ir "a" = 1.

1 pavyzdys

Faktorius x² + 5x + 6.

Sprendimas

Jūs turite kvadratinę trinominę formą x² ± bx + c. Pirmiausia reikia surasti du numerius, kurie, padauginus, duos rezultatą „c“ (tai yra 6) ir kad jo suma yra lygi koeficientui „b“, kuris yra 5. Šie skaičiai yra 2 ir 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Tokiu būdu išraiška supaprastinama taip:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Kiekvienas terminas yra įvertintas:

- Už (x² + 2x) bendras terminas ištraukiamas: x (x + 2)

- Už (3x + 6) = 3 (x + 2)

Taigi išraiška išlieka:

x (x +2) + 3 (x +2).

Kadangi turite bendrą binomiją, norėdami sumažinti išraišką, ją padauginkite iš perviršio sąlygų ir turite:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2 pavyzdys

4a faktorius² + 12a + 9 = 0.

Sprendimas

Jūs turite kvadratinę trinominę formą kirvį² ± bx + c, ir visa tai išreiškiama išraiškos koeficientu x²; šiuo atveju 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Dabar turime surasti du numerius, kurie, padauginus iš jų, suteikia „c“ reikšmę (kuri yra 36) ir kad kartu sujungiant, gaunamas termino „a“ koeficientas, kuris yra 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tokiu būdu išraiška perrašoma, atsižvelgiant į tai² a² = 4a _* 4a. Todėl paskirstymo turtas taikomas kiekvienam terminui:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Galiausiai, išraiška yra padalinta iš²; tai yra 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Ši išraiška yra tokia:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoringas su puikiais produktais

Yra atvejų, kai, norint visiškai atsižvelgti į ankstesnius metodus, jis tampa labai ilgas procesas.

Štai kodėl išraiška gali būti sukurta su puikių produktų formulėmis, todėl procesas tampa paprastesnis. Tarp dažniausiai naudojamų produktų yra:

- Dviejų kvadratų skirtumas: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Puikus kvadrato suma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Puikus kvadrato skirtumas: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Dviejų kubelių skirtumas: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Dviejų kubelių suma: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

1 pavyzdys

Faktorius (5. \ T² - x²)

Sprendimas

Šiuo atveju yra dviejų kvadratų skirtumas; todėl taikoma nepaprasto produkto formulė:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

2 pavyzdys

Faktorius 16x² + 40x + 25²

Sprendimas

Šiuo atveju mes turime puikų kvadratą sumos, nes mes galime nustatyti du kvadratinius terminus, o likęs terminas - dviejų padauginus iš pirmojo termino kvadratinės šaknies, antrosios kadencijos kvadratinės šaknies.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Norėdami apskaičiuoti, skaičiuojamos tik pirmojo ir trečiojo termino kvadratinės šaknys:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Tada dvi gautos sąlygos atskiriamos operacijos ženklu, o visas polinomas yra kvadratas:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

3 pavyzdys

27a faktorius³ - b³

Sprendimas

Ši išraiška yra atimtis, kurioje du kubo faktoriai yra pakelti į kubą. Norint juos įvertinti, taikoma kubo skirtumo reikšmingo produkto formulė, kuri yra:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Taigi, norint faktorizuoti, kiekvieno binominio termino kubinė šaknis išgaunama ir padauginama iš pirmojo termino kvadrato, pridėjus pirmojo termino antrąjį terminą, pridėjus antrą kvadratą.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktoringas su Ruffini taisykle

Šis metodas naudojamas, kai turite polinomą, kurio laipsnis yra didesnis nei du, siekiant supaprastinti daugelio mažesnio laipsnio polinomų išraišką.

1 pavyzdys

Faktorius Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Sprendimas

Pirmiausia ieškokite numerių, kurie yra 12 dalikliai, ty nepriklausomas terminas; tai yra ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ir ± 12.

Tada x yra pakeista šiomis reikšmėmis, nuo mažiausios iki didžiausios, todėl nustatoma, kuri iš vertybių bus tiksli; tai yra, likusi dalis turi būti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Ir taip toliau kiekvienam skirstytuvui. Tokiu atveju nustatyti veiksniai yra x = -1 ir x = 2.

Dabar taikomas „Ruffini“ metodas, pagal kurį ekspresijos koeficientai bus padalinti tarp veiksnių, nustatytų, kad padalinys būtų tikslus. Polinomų terminai yra užsakomi nuo aukščiausio iki mažiausio eksponento; tuo atveju, jei trūksta terminų, kurie seka seką, vietoje jo yra 0.

Koeficientai išdėstyti schemoje, kaip parodyta sekančiame paveikslėlyje.

Pirmasis koeficientas sumažinamas ir padauginamas iš dalintojo. Tokiu atveju pirmasis daliklis yra -1, o rezultatas įterpiamas į kitą stulpelį. Tada koeficiento vertė pridedama vertikaliai su tuo rezultatu, kuris buvo gautas, ir rezultatas yra žemiau. Tokiu būdu procesas kartojamas iki paskutinio stulpelio.

Tada ta pati procedūra kartojama dar kartą, bet su antruoju dalikliu (kuris yra 2), nes išraiška vis dar gali būti supaprastinta.

Taigi, už kiekvieną gautą šaknį polinomas turės terminą (x - a), kur "a" yra šaknies vertė:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Kita vertus, šios sąlygos turi būti padaugintos iš likusios Ruffini taisyklės 1: 1 ir -6, kurios yra lygiai. Tokiu būdu sukurta išraiška yra: (x² + x - 6).

Polinomo faktoringo rezultato gavimas pagal „Ruffini“ metodą yra:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Norėdami baigti, 2 laipsnio polinomas, kuris pasirodo ankstesnėje išraiška, gali būti perrašytas kaip (x + 3) (x-2). Todėl galutinis faktorizavimas yra:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Nuorodos

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
2. J, V. (2014). Kaip išmokyti vaikus apie faktorius į polinomą.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Pagrindinė matematika su taikomosiomis programomis.
4. Roelse, P. L. (1997). Linijiniai polinominio faktoringo metodai baigtiniuose laukuose: teorija ir įgyvendinimas. Essen universitetas.
5. Sharpe, D. (1987). Žiedai ir faktoriai.