Polinomų lygtys (su išspręstomis pratybomis)

The polinomų lygtis yra pareiškimas, kuris kelia dviejų išraiškų ar narių lygybę, kai bent viena iš terminų, sudarančių kiekvieną pusę lygybės, yra polinomai P (x). Šios lygtys pavadintos pagal jų kintamųjų laipsnį.

Apskritai, lygtis yra teiginys, kuriuo nustatoma dviejų išraiškų lygybė, kur bent viename iš jų yra nežinomi kiekiai, vadinami kintamaisiais arba nežinomais. Nors yra daug rūšių lygčių, jie paprastai skirstomi į dvi rūšis: algebrinę ir transcendentinę.

Polinominės lygtys turi tik algebrines išraiškas, kurios gali turėti vieną ar daugiau nežinomų lygčių. Pagal eksponentą (laipsnį) jie gali būti suskirstyti į: pirmąjį laipsnį (tiesinį), antrąjį laipsnį (kvadratinį), trečiąjį laipsnį (kubinį), ketvirtąjį (ketvirtinį), didesnį arba lygų penkiems ir neracionaliems.

Indeksas

• 1 Charakteristikos
• 2 tipai
  • 2.1 Pirmoji klasė
  • 2.2 Antrasis laipsnis
  • 2.3 Resolveris
  • 2.4 Aukštasis laipsnis
• 3 Išspręstos pratybos
  • 3.1 Pirmasis pratimas
  • 3.2 Antrasis pratimas
• 4 Nuorodos

Savybės

Polinomos lygtys yra išraiškos, kurias sudaro dviejų polinomų lygybė; tai yra, nežinomų (kintamųjų) ir fiksuotų skaičių (koeficientų) reikšmių, kai kintamieji gali turėti eksponentus, ribinės sumos, o jų vertė gali būti teigiamas sveikasis skaičius, įskaitant nulį.

Eksponentai nustato lygties laipsnį arba tipą. Ši išraiška, turinti didžiausią vertę, parodys absoliutų polinomo laipsnį.

Polinominės lygtys taip pat žinomos kaip algebrinės lygtys, jų koeficientai gali būti realūs arba sudėtingi, o kintamieji - nežinomi skaičiai, vaizduojami raidėmis, pavyzdžiui: „x“.

Jei P (x) kintamojo „x“ reikšmė pakeičiama, rezultatas yra lygus nuliui (0), tada sakoma, kad ši vertė atitinka lygtį (tai yra sprendimas) ir paprastai vadinama polinomo šaknimi.

Kai sukuriama polinomo lygtis, jūs norite rasti visas šaknis ar sprendimus.

Tipai

Yra kelių tipų polinomų lygčių, kurios yra diferencijuotos pagal kintamųjų skaičių, taip pat pagal jų eksponento laipsnį.

Taigi, polinomų lygtis - kur pirmasis terminas yra polinomas su tik viena nežinoma, atsižvelgiant į tai, kad jo laipsnis gali būti bet koks natūralus skaičius (n) ir antrasis terminas yra nulinis, gali būti išreikštas taip:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Kur:

- a_n, a_n-1 ir a₀, jie yra tikrieji koeficientai (skaičiai).

- a_n tai skiriasi nuo nulio.

- Eksponentas n yra teigiamas sveikasis skaičius, atitinkantis lygties laipsnį.

- x yra kintamasis arba nežinomas, kurį reikia ieškoti.

Absoliutus arba didesnis polinomo lygties laipsnis yra tas, kuris turi didesnę vertę tarp visų, kurie sudaro polinomą; tokiu būdu lygtys klasifikuojamos kaip:

Pirmoji klasė

Pirmojo laipsnio polinomų lygtys, taip pat žinomos kaip linijinės lygtys, yra tos, kuriose laipsnis (didžiausias eksponentas) yra lygus 1, polinomas yra formos P (x) = 0; jis susideda iš linijinio termino ir nepriklausomo termino. Jis parašytas taip:

ax + b = 0.

Kur:

- a ir b yra tikrieji skaičiai ir a ≠ 0.

- kirvis yra linijinis terminas.

- b yra nepriklausomas terminas.

Pavyzdžiui, lygtis 13x - 18 = 4x.

Norėdami išspręsti linijines lygtis, visi terminai, kuriuose yra nežinomas x, turi būti perduodami vienai lygybės pusei, o tie, kurie neturi, yra perkelti į kitą pusę, kad būtų išvalyta ir gauta sprendimas:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Tokiu būdu pateikta lygtis turi vieną tirpalą arba šaknį, kuris yra x = 2.

Antroji klasė

Antrojo laipsnio polinomų lygtis, taip pat žinomas kaip kvadratinės lygtys, yra tos, kuriose laipsnis (didžiausias eksponentas) yra lygus 2, polinomas yra formos P (x) = 0 ir yra sudarytas iš kvadratinio termino , viena linijinė ir viena nepriklausoma. Jis išreiškiamas taip:

kirvis² + bx + c = 0.

Kur:

- a, b ir c yra tikrieji skaičiai ir a ≠ 0.

- kirvis² yra kvadratinis terminas, o „a“ yra kvadratinio termino koeficientas.

- bx yra tiesinis terminas, o „b“ - tiesinio termino koeficientas.

- c yra nepriklausomas terminas.

Tirpiklis

Paprastai šio tipo lygčių sprendimas pateikiamas išvalant x iš lygties, ir jis paliekamas taip, kuris vadinamas sprendimu:

Ten, (b² - 4ac) vadinama lygtimi, ir ši išraiška lemia, kiek lygių sprendimų gali būti:

- Taip (b² - 4ac) = 0, lygtis turės vieną sprendimą, kuris yra dvigubas; tai yra, jūs turėsite du lygius sprendimus.

- Taip (b² - 4ac)> 0, lygtis turės du skirtingus realius sprendimus.

- Taip (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Pavyzdžiui, jūs turite lygtį 4x² + 10x - 6 = 0, norėdami ją išspręsti, pirmiausia nurodykite terminus a, b ir c, tada pakeiskite ją formulėje:

a = 4

b = 10

c = -6.

Yra atvejų, kai antrojo laipsnio polinominės lygtys neturi trijų terminų, todėl jie yra skirtingai išspręsti:

- Tuo atveju, jei kvadratinės lygtys neturi linijinės trukmės (ty b = 0), lygtis bus išreikšta kaip ašis² + c = 0. Norėdami ją išspręsti, jis išvalomas x² ir kiekvienoje narėje taikomos kvadratinės šaknys, nepamirštant, kad buvo atsižvelgta į du galimus požymius, kad nežinomi gali būti:

kirvis² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Pavyzdžiui, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Kai kvadratinė lygtis neturi savarankiško termino (ty c = 0), lygtis bus išreikšta kirviu² + bx = 0. Norėdami išspręsti šią problemą, pirmame naryje privalome išskirti bendrą nežinomo x koeficientą; kadangi lygtis lygi nuliui, tiesa, kad bent vienas iš veiksnių bus lygus 0:

kirvis² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Tokiu būdu jūs turite:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Pavyzdžiui: turite lygtį 5x² + 30x = 0. Pirmasis veiksnys:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Gauti du veiksniai: x ir (5x + 30). Manoma, kad vienas iš jų bus lygus nuliui, o kitas sprendimas bus pateiktas:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Pagrindinis laipsnis

Didesnio laipsnio polinominės lygtys yra tos, kurios prasideda nuo trečiojo laipsnio, kurį galima išreikšti arba išspręsti bendrojo polinomo lygtimi bet kokiam laipsniui:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Tai naudojama todėl, kad lygtis, didesnė nei du, yra polinomo faktoriaus rezultatas; tai reiškia, kad jis išreiškiamas vieno ar didesnio laipsnio polinomų dauginimu, bet be tikrųjų šaknų.

Šio tipo lygčių sprendimas yra tiesioginis, nes dviejų veiksnių dauginimas bus lygus nuliui, jei bet kuris iš šių veiksnių yra nulinis (0); todėl kiekviena iš aptiktų polinomų lygčių turi būti išspręsta, kiekvienas jo veiksnys suderinamas su nuliu.

Pavyzdžiui, jūs turite trečiojo laipsnio (kubinio) x lygtį³ + x² +4x + 4 = 0. Norint ją išspręsti, reikia atlikti šiuos veiksmus:

- Terminai grupuojami:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Galūnės yra suskirstytos, kad būtų gautas bendras nežinomo veiksnio:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Tokiu būdu gaunami du veiksniai, kurie turi būti lygūs nuliui:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Galima matyti, kad faktorius (x² + 4) = 0 neturės realaus sprendimo, o koeficientas (x + 1) = 0 taip. Todėl sprendimas yra:

(x + 1) = 0

x = -1.

Išspręstos pratybos

Išspręskite šias lygtis:

Pirmasis pratimas

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Sprendimas

Šiuo atveju lygtis išreiškiama kaip polinomų dauginimas; tai yra. Norėdami ją išspręsti, kiekvienas veiksnys turi būti lygus nuliui:

- 2x² + 5 = 0, neturi sprendimo.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Taigi, pateikta lygtis turi du sprendimus: x = 3 ir x = -1.

Antrasis pratimas

x⁴ - 36 = 0.

Sprendimas

Jam buvo suteiktas polinomas, kurį galima perrašyti kaip kvadratų skirtumą, kad būtų pasiektas greitesnis sprendimas. Taigi lygtis išlieka:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Norėdami rasti lygčių sprendimą, abu veiksniai yra lygūs nuliui:

(x² + 6) = 0, neturi sprendimo.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Taigi pradinė lygtis turi du sprendimus:

x = √6.

x = - √6.

Nuorodos

1. Andres, T. (2010). Tresure matematinė olimpiada. Springer. Niujorkas.
2. Angel, A. R. (2007). Pradinė algebra „Pearson Education“,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linijinė algebra ir projektinė geometrija. Kurjerių korporacija.
4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematika prieš skaičiavimą. Medeljino universitetas.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matematikos vadovas olimpiniam pasiruošimui. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematika 3.