3 Linijinių lygčių sistemos ir kaip jas išspręsti

The linijinės lygtys jie yra polinomos lygtys su viena ar keliomis nežinomomis. Šiuo atveju nežinomieji nėra pakelti į valdžią, taip pat nėra dauginami tarpusavyje (šiuo atveju sakoma, kad lygtis yra 1 laipsnio arba pirmojo laipsnio).

Lygtis yra matematinė lygybė, kai yra vienas ar daugiau nežinomo elemento, kurį mes vadinsime nežinomais ar nežinomais, jei yra daugiau nei vienas. Norint išspręsti šią lygtį, būtina išsiaiškinti nežinomųjų vertę.

Linijinė lygtis turi tokią struktūrą:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Kur₀, a₁, a₂,..., a_n yra realūs skaičiai, apie kuriuos mes žinome jų vertę ir vadinami koeficientais, b taip pat yra žinomas realus skaičius, vadinamas nepriklausomu terminu. Ir pagaliau jie yra X₁, X_2,..., X_n kurios yra žinomos kaip nežinomos. Tai yra kintamieji, kurių vertė nežinoma.

Linijinių lygčių sistema yra linijinių lygčių rinkinys, kur nežinomų reikšmių vertė kiekvienoje lygtyje yra tokia pati.

Logiškai, būdas išspręsti linijinių lygčių sistemą priskiria reikšmes nežinomiems, kad būtų galima patikrinti lygybę. Tai reiškia, kad nežinomieji turi būti skaičiuojami taip, kad visos sistemos lygtys būtų įvykdytos vienu metu. Mes atstovaujame linijinių lygčių sistemą

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 kur a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n ir tt mums realūs skaičiai ir nežinomi klausimai yra X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Kiekviena linijinė lygtis žymi liniją, todėl N linijinių lygčių lygčių sistema reiškia N tiesiai ištrauktą erdvę.

Priklausomai nuo nežinomų skaičių, kurių kiekviena linijinė lygtis turi, linija, vaizduojanti tą lygtį, bus atstovaujama kitokiu matmeniu, ty lygtis su dviem nežinomais (pvz., 2 · X₁ + X₂ = 0) reiškia liniją dvimatėje erdvėje, lygtį su trimis nežinomais (pvz., 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) būtų atstovaujama trimatėje erdvėje ir pan.

Sprendžiant lygčių sistemą, X reikšmės₀,..., X_n ,X_{n + 1} atsitiktinai yra pjūvio taškai tarp linijų.

Sprendžiant lygčių sistemą, galime pasiekti skirtingas išvadas. Priklausomai nuo gauto rezultato tipo, galime išskirti 3 linijinių lygčių sistemų tipus:

1- Nenustatytas suderinamumas

Nors tai gali skambėti kaip pokštas, įmanoma, kad bandant išspręsti lygčių sistemą, mes pasieksime stiliaus 0 = 0 akivaizdumą..

Tokia situacija atsiranda, kai lygčių sistemai yra begaliniai sprendimai, ir tai atsitinka, kai paaiškėja, kad mūsų lygčių sistemoje lygtys yra tos pačios linijos. Grafiškai matome:

Kaip lygčių sistemą, kurią priimame:

Turėdami 2 lygtis su 2 nežinomais, mes galime atstovauti linijas dvimatėje plokštumoje

Kaip matome tas pačias linijas, todėl visi pirmosios lygties taškai sutampa su antrosios lygties taškais, todėl jis turi tiek daug pjūvių taškų, kokių ta linija turi, ty, begalybes.

2 - Nesuderinama

Skaitydami pavadinimą galime įsivaizduoti, kad mūsų kito lygčių sistema neturės sprendimo.

Jei stengiamės išspręsti, pavyzdžiui, šią lygčių sistemą

Grafiškai tai būtų:

Jei dauginame visas antrosios lygties sąlygas, gauname, kad X + Y = 1 lygus 2 · X + 2 · Y = 2. Ir jei ši paskutinė išraiška atimama iš pirmos lygties, gauname

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Arba tas pats

0 = 1

Kai mes esame tokioje situacijoje, tai reiškia, kad lygčių sistemoje reprezentuojamos linijos yra lygiagrečios, o tai reiškia, kad pagal apibrėžimą jie niekada nėra supjaustyti ir nėra pjūvio taško. Kai sistema pristatoma tokiu būdu, ji laikoma nenuosekli nepriklausoma.

3. Nustatyta parama

Galiausiai atėjome į atvejį, kai mūsų lygčių sistema turi vieną sprendimą, atvejį, kai turime linijas, susikertančias ir kuriančias sankirtos tašką. Pamatysime pavyzdį:

Norėdami ją išspręsti, galime pridėti dvi lygtis, kad gautume

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Jei supaprastinsime, mes palikome

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Iš kurių mes lengvai darome išvadą, kad X = 2 ir pakeičiant arba X = 2 bet kurioje iš pradinių lygčių gauname Y = 3.

Vizualiai tai būtų:

Linijinių lygčių sistemų sprendimo būdai

Kaip matėme ankstesniame skyriuje, sistemoms su 2 nežinomomis ir 2 lygtimis, remiantis paprastomis operacijomis, pvz., Pridėjimu, atėmimu, dauginimu, dalijimu ir pakeitimu, mes galime jas išspręsti per kelias minutes. Bet jei bandysime taikyti šią metodiką sistemoms, kuriose yra daugiau lygčių ir daugiau nežinomų, skaičiavimai tampa varginantys ir mes galime lengvai sugadinti.

Siekiant supaprastinti skaičiavimus, yra keli sprendimo būdai, tačiau neabejotinai labiausiai paplitę metodai yra Cramerio taisyklė ir Gauss-Jordan pašalinimas..

Cramerio metodas

Norint paaiškinti, kaip šis metodas yra taikomas, svarbu žinoti, kas yra jos matrica ir žinoti, kaip rasti savo determinantą, padarykime skliaustelius, kad apibrėžtume šias dvi sąvokas.

Vienas matrica tai nieko daugiau, negu horizontalių ir vertikalių linijų skaičių arba algebrinių simbolių rinkinys, išdėstytas stačiakampio formos. Mūsų temai mes naudosime matricą kaip paprastesnį būdą išreikšti mūsų lygčių sistemą.

Pamatysime pavyzdį:

Tai bus tiesinių lygčių sistema

Ši paprasta lygčių sistema, kurią mes galime apibendrinti, yra dviejų 2 × 2 matricų, kurių rezultatas yra 2 × 1 matrica, veikimas..

Pirmoji matrica atitinka visus koeficientus, antroji matrica yra nežinomi, kuriuos reikia išspręsti, ir matrica, esanti po lygybės, identifikuojama su nepriklausomomis lygčių sąlygomis

The lemiamas veiksnys yra operacija, taikoma matricai, kurios rezultatas yra tikrasis skaičius.

Jei matrica yra mūsų ankstesniame pavyzdyje, jos lemiamasis veiksnys būtų:

Apibrėžus matricos ir determinanto sąvokas, galime paaiškinti, ką sudaro „Cramer“ metodas.

Šiuo metodu mes galime lengvai išspręsti linijinių lygčių sistemą tol, kol sistema neviršija trijų nežinomų lygčių, nes matricų skaičiavimas yra labai sunkus 4 × 4 ar didesnėms matricoms. Jei sistema turi daugiau nei tris linijines lygtis, rekomenduojama taikyti Gauss-Jordan pašalinimo metodą.

Toliau su ankstesniu pavyzdžiu, Cramer, mes tiesiog turime apskaičiuoti du determinantus ir su jais mes rasime dviejų mūsų nežinomų vertybių.

Mes turime sistemą:

Ir mes turime sistemą, atstovaujamą matricomis:

Rasta X vertė:

Apskaičiuojant determinantą, esančią dalintojo vardiklyje, mes pakeitėme pirmąją savivaldybę nepriklausomų terminų matricai. Ir dalintojo vardikliu mes turime savo pradinės matricos determinantą.

Atlikdami tuos pačius skaičiavimus, mes galime rasti Y:

Gauss-Jordan pašalinimas

Mes apibrėžiame pratęsta matrica į matricą, gaunamą iš lygčių sistemos, kurioje matricos pabaigoje pridedame nepriklausomus terminus.

„Gauss-Jordan“ pašalinimo metodą sudaro matricos eilučių operacijos, kad mūsų išplėstinė matrica taptų daug paprastesne matrica, kurioje aš turiu nulius visuose laukuose, išskyrus įstrižainėje, kur turiu gauti kai kuriuos. Taip:

Kur X ir Y būtų realūs skaičiai, atitinkantys mūsų nežinomus.

Išspręskime šią sistemą pašalinant Gauss-Jordan:

Mes jau sugebėjome gauti nulį apatinėje kairėje mūsų matricos dalyje, kitas žingsnis - gauti 0 viršutinėje dešinėje jo dalyje.

Mes pasiekėme 0 viršutiniame kairiajame matricos kampe, dabar mes turime tik konvertuoti įstrižainę į tuos ir mes jau išsprendėme savo sistemą Gauss-Jordan.

Todėl darome išvadą, kad:

Nuorodos

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Linijinių lygčių sistemos (be datos). Susigrąžinta iš uco.es.
4. Linijinių lygčių sistemos. 7 skyrius (nenurodyta). Gauta iš sauce.pntic.mec.es.
5. Linijinė algebra ir geometrija (2010/2011). Linijinių lygčių sistemos. 1 skyrius. Algebros katedra. Sevilijos universitetas. Ispanija Atkurta iš algebra.us.es.